Закон распределений метрология

Колчков В.И. МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ. М.:Учебное пособие

3. Метрология и технические измерения

3.9.4. Обработка результатов измерений

Обработка результатов измерений статистическими методами применяется на практике для решения следующих задач:

  • определение погрешности средств измерений;
  • определение соответствия параметров технологического процесса заданной точности изделия;
  • установление технологического допуска при обработке;
  • определение точностных характеристик установочных и выборочных партий деталей, с целью контроля и управления качеством продукции;
  • установление рассеяния показателей качества однотипных изделий и др.

Результаты измерений получаются путём соответствующей обработки результатов наблюдений, показаний полученных с помощью средств измерений.

При этом вводятся следующие понятия:

  • результат наблюдения — значение величины отсчёта показаний средства измерений, полученное при отдельном измерении;
  • результат измерения — значение величины, полученное после обработки результатов наблюдений.

При изготовлении партии деталей неизбежно происходит рассеяние их геометрических и физико-механических параметров. Поэтому результаты измерения параметров каждой отдельной детали являются случайными величинами. Тоже самое происходит при многократном измерении одной детали с помощью конкретного средства измерений.

При изготовлении и проведении измерений возникают систематические и случайные погрешности.

Систематическими называют погрешности, постоянные по величине и знаку или изменяющиеся по определенному закону в зависимости от действия определённых заранее предсказуемых причин.

Систематические погрешности возникают, например, из-за: неточной настройки оборудования, погрешностей измерительного прибора, отклонения рабочей температуры от нормальной (в т.ч. субъективных действий оператора), силовых деформаций, и др.

Систематические погрешности измерения могут быть полностью или частично устранены, например, при помощи поправочной таблицы к неправильно градуированной шкале прибора или путем определения средней арифметической величины из нескольких отсчетов в противолежащих положениях, например, при измерении шага и половины угла профиля резьбы, коррекции неправильных действий оператора (влияние на температуру дыхания или прикосновения, превышение усилий).

Случайными называют переменные по величине и знаку погрешности, которые возникают при изготовлении или измерении и принимают то или иное числовое значение в зависимости от ряда случайно действующих причин.

Характерным признаком случайных погрешностей является вариация значений, принимаемых ими в повторных опытах.

Эти погрешности вызываются множеством изменяющихся случайным образом факторов таких, как: неточности элементов средства измерения, припуск на обработку, механические свойства материала, сила резания, измерительная сила, различная точность установки деталей на измерительную позицию и другие, причем в общем случае ни один из этих факторов не является доминирующим.

Погрешности изготовления и измерения являются случайными величинами. Примеры случайных величин: размеры деталей при обработке, зазоры в подвижных соединениях, результаты повторных измерений одной и той же величины и т.п.

Случайные погрешности трудно устранить, поэтому их влияние учитывают при назначении допуска на размер или на какой-либо другой параметр.

Появление того или иного числового значения случайной величины в результате измерений рассматривается как случайное событие. То же самое происходит при проведении, каких либо испытаний продукции, например, для установления его показателей качества.

Отношение числа n случаев появления случайной величины или события A к числу N всех произведенных испытаний, при которых это событие могло появиться, называют частостью, или относительной частотой W (А) = n/N.

При достаточно большом числе испытаний N обнаруживается устойчивость значения указанного отношения для большинства случайных событий. Величина W (A) для события А будет колебаться около некоторого постоянного числа, равного единице. Это число, всегда меньшее единицы, называют вероятностью Р (А) появления события А, т. е. Р (А) является мерой объективной возможноcти появления события А.

Вероятность достоверного события равна единице, невозможного события — нулю.

За приближенное значение вероятности Р (А) события А при достаточном числе испытаний можно принимать частость:

P (A ) W (A) = n/N (3.1)

Частость W (A) отличается от вероятности Р (A) тем, что представляет собой случайную величину, которая в различных сериях однотипных испытаний может принимать в зависимости от случайных факторов различные значения, тогда как вероятность Р (А) представляет постоянное для каждого данного события число, определяющее в среднем частость его появления в опытах.

По мере увеличения N частость приближается к вероятности.

Зависимость между числовыми значениями случайной величины и вероятностью их появления устанавливается законом распределения вероятностей случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде таблицы или графика, показывающего, с какой вероятностью случайная величина X принимает то или иное числовое значение x i .

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которая может принимать любое значение в пределах заданного интервала нельзя представить в виде таблицы.

Закон распределения представляют в виде дифференциальной функции распределения или плотности распределения вероятности p X (x). Эта функция представляет собой предел отношения вероятности того, что случайная величина X примет значение, лежащее в интервале от x до х + x , к величине интервала х, при х, стремящемся к нулю.

Характер рассеяния достаточно большой совокупности значений случайной величины, как правило, соответствует определённому теоретическому закону распределения.

Рассеяние значений случайной величины, изменение которой зависит от большого числа факторов, когда ни один из факторов не имеет преобладающего влияния, подчиняется закону нормального распределения вероятностей (закону Гаусса), показанного на рис 3.3.

Рис. 3.3. Кривая плотности вероятности нормального распределения

Этому закону с некоторым приближением может подчиняться: рассеяние погрешностей многократных измерений; рассеяние погрешностей изготовления; погрешности измерения линейных и угловых размеров; массы деталей; величин твердости и других механических и физических величин.

Закон нормального распределения имеет следующие свойства:

  • вероятность появления положительных и отрицательных погрешностей одинакова;
  • малые по величине погрешности имеют большую вероятность появления, чем большие;
  • алгебраическая сумма отклонений от среднего значения равна нулю.

Зависимость плотности вероятности определяется уравнением:

(3.2)

где a и — параметры распределения; x — аргумент функции плотности вероятности, т.е. случайная величина, изменяющаяся в пределах — < x < + ; e — основание натуральных логарифмов. Нормальное распределение представляет собой кривую симметричную относительно оси ординат. Величина a равна математическому ожиданию MX случайной величины X, определяемому по формулам:

для дискретной величины

(3.3),

где x i — возможное значение дискретной случайной величины; p(x i ) — вероятность значения x i дискретной случайной величины;

для непрерывных величин ,

(3.4),

где р X (х) — плотность вероятности непрерывной случайной величины X. Значение MX характеризует положение центра группирования случайных величин, около которого располагаются, например, размеры большинства деталей в партии.

При отсутствии систематических погрешностей в результатах многократных измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях, математическое ожидание можно рассматривать как наибольшее приближение к истинному значению измеряемой величины.

При анализе характера рассеяния размеров деталей, обрабатываемых на станке, математическое ожидание можно рассматривать как размер, на который был настроен станок.

Величину рассеяния значений случайной величины относительно центра группирования определяет параметр, который называют средним квадратическим отклонением случайной величины, его определяют по формулам:

для дискретной величины

(3.5)

для непрерывной величины

(3.6)

Рассеяние случайных величин характеризуется также дисперсией DX = X .

Формула (3.2) выражает уравнение кривой, если начало отсчета расположено на оси x произвольно. При совпадении центра группирования с началом отсчета величины x уравнение кривой нормального распределения будет иметь вид

(3.7)

В тоже время существуют другие законы распределения, описывающие случайные величины, природа возникновения которых имеет несколько иной характер.

В рассматриваемом случае необходимо упомянуть закон Максвелла, которому подчиняются существенно положительные величины, например: рассеяние значений эксцентриситета, радиальное и торцевое биения, отклонения от соосности, дисбаланс и другие величин, которые не могут принимать отрицательные значения.

Для оценки надёжности работы изделий используют закон Вейбулла, который даёт представление о вероятности отказов.

Получили распространение также закон Симпсона или закон треугольника и закон равной вероятности.

Однако, для обработки результатов наблюдений в основном применяют закон нормального распределения — закон Гаусса.

Вероятность попадания величины в заданный интервал можно определить следующим образом. Ветви теоретической кривой нормального распределения (рис. 3.3) уходят в бесконечность, асимптотически приближаясь к оси абсцисс. Площадь, ограничиваемая кривой и осью абсцисс, равна вероятности того, что случайная величина, например, погрешность размера, лежит в интервале ±. Площадь под кривой распределения равна 1 или 100%, она определяется интегралом

(3.8)

Начало координат расположено в точке, совпадающей с центром группирования. Так как подынтегральная функция четная и кривая симметрична относительно максимальной ординаты, можно записать

(3.9)

Для выражения случайной величины x в долях ее примем: x/ = z, откуда x = z, dx = dz. В этом случае абсцисса на рис. 3.3 будет выражена в долях . Если принять за пределы интегрирования 0 и z, то интеграл в выражении (3.8) будет функцией z, т.е.

(3.10)

Функцию Ф 0 (z) называют нормированной функцией Лапласа: Ф 0 (0) = 0; Ф 0 (- z) = — Ф 0 (z); Ф 0 (- ) = — 0,5; Ф 0 (+) = 0,5.

Из формулы (3.9) и рис. 3.4 следует, что площадь, ограниченная отрезком — z 1 + z 1 оси абсцисс, кривой плотности вероятности и двумя ординатами, соответствующими границам отрезка, представляет собой вероятность попадания случайной величины z 1 , в данный интервал.

Рис. 3.4 Кривая нормального распределения и иллюстрация подынтегральных функций

Данные для функции Ф 0 (z) приводятся в справочниках. Пользуясь этими данными можно определить вероятность того, что случайная величина x, выраженная через , будет находиться в пределах того или иного интервала ± z 1 . Например, находим, при z 1 = 3, что соответствует случайной величине x = 3, Ф 0 (3) = 0,49865 или Ф 0 (- 3) — Ф 0 (3) = 2Ф 0 (3) = 0,9973.

Так как площадь, ограниченная кривой Гаусса и осью абсцисс, равна 1, то площадь, лежащая за пределами значений х = ± 3, равна 1 — 0,9973 = 0,0027 и расположена симметрично по 0,00135 или по 0,135% справа и слева относительно оси у (см. рис. 3.4).

Следовательно, с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что случайная величина X не будет выходить за пределы ± 3. Поэтому при распределении случайной величины по закону Гаусса поле рассеяния, равно V lim = 6 или диапазон ± 3 считают за практически предельное поле рассеяния случайной величины и принимают за норму точности — допуск. При этом вероятность выхода случайной величины за пределы значений ± 3 равна 0,0027 или 0,27%.

В условиях производства из-за ограниченности числа измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные статистические оценки — соответственно эмпирическое среднее и эмпирическую дисперсию , характеризующие средний результат измерений и степень рассеяния результатов. Эти оценки определяют по формулам:

(3.11)

(3.12)

В этих выражениях x i — значение, соответствующее середине i-гo интервала, a k — число интервалов. Чем меньше величина s, тем выше точность процесса изготовления или измерения, т. е. тем меньше величины случайных погрешностей. Поэтому параметр s используют в качестве меры точности процесса изготовления или при повторных измерениях одной и той же величины в качестве меры точности метода измерения.

micromake.ru

Закон распределений метрология

Глава 4. Основы теории измерений.

4.9. Законы распределения случайных погрешностей.

В метрологической практике для описания случайных погрешностей используют ограниченный набор стандартных аппроксимирующих функций распределения (нормальную, равномерную, по треугольнику, по трапеции).

  1. Погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы.
  2. Погрешность приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры.
  3. Погрешности регулировки в допустимых пределах ± а.
  4. Люфтовые погрешности.
  5. Погрешности от изменения температуры в допустимых пределах.
  6. Вариация показаний измерительных приборов.

Треугольные функции распределения (по Симпсону) имеют погрешности измерений длины, угла, интервала времени по двум отсчетам (начало-конец).

Аналитические зависимости, области определения, соотношения между параметрами и графики наиболее часто используемых законов распределения представлены в таблице 4.1.

Наиболее распространенной функцией распределения случайной погрешности является нормальная функция (функция Гаусса). При обработке результатов наблюдений при априорно неизвестном законе распределения случайных погрешностей проводят проверку нормальности распределения результатов наблюдений. Для этого используют методы проверки статистических гипотез. Поскольку проверка статистических гипотез основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки.Когда отвергается в действительности верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости q :

где — вероятность правильного принятия верной гипотезы.

Когда принимается в действительности неверная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. В общем случае вычислить ее вероятность нельзя. Однако при уменьшении вероятности ошибки первого рода вероятность ошибки второго рода увеличивается. Поэтому не имеет смысла выбирать слишком низкий уровень значимости q . Обычно на практике q принимают в пределах (1. 5)%. Критерии проверки статистических гипотез приводятся в справочной литературе по теории вероятностей и в нормативных документах по метрологии, в частности, в ГОСТ 8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения».

izmerenee.ucoz.org

Основные понятия метрологии. Классификация измерений. Абсолютная и относительная погрешность измерений. Виды (природа) погрешности измерений физических величин. Прямое равноточное измерение и его нормирование метрологические характеристики. , страница 2

Экстремум в виде максимального, определяющего центр распределения, по смыслу центр распределения определяет случайную величину х наиболее часто появляющегося при измерениях, которое представляет собой по данной серии измерений. Сама функция имеет вероятностный характер и определяет вероятность появления измеряемой величины в отдельной точке, поэтому иногда её называют плоскостью распределения случайной величины х. Функция распределения является 5-ой метрологической характеристикой прямого равноточного распределения.

7. Виды распределений. Нормальный закон распределения случайной величины (закон Гаусса).

В зависимости от вида гистограммы можно ввести следующие законы распределения случайной величины.

Равномерный закон распределения случайной величины.

Треугольный закон распределения случайной величины.

Трапецеидальный закон распределения случайной величины.

Нормальный закон распределения случайной величины, график имеет следующий вид.

Каждая из кривых симметрична и отличается своей остротой >>

Немецкий математик Гаус нашёл аналитический вид нормального закона распределения случайной величины, проявляющегося при большом числе измерений или в серии большой выборки. Вид нормального закона распределения: .

Свойства нормального закона распределения случайной величины:

Параметром функции распределения является , т.е. среднее квадратичное значение.

в центре распределения, при всех других х правее или левее центра распределения вероятность такого значения х убывает.

Функция Гаусса симметрична относительно центра распределения, т.е. при измерениях появления как меньших так и больших значениях х относительно равномерно.

Они показывают, что при серии измерений малой выборки закон распределения измеренной величины все более отклоняется т.е. видоизменяется относительно нормального закона.

8. Критерий нормальности распределения абсолютной погрешности при прямой измерений физической величины Х.

Измеряется прямым равноточным методом (одним прибором) некоторая физическая величина Х, истинное значение которой нам неизвестно. В процессе эксперимента находится действительное значение , которое является оценкой её истинного значения. В качестве такой оценки при прямых значениях берётся , которое называется арифметическим средним . В процессе измерений находится абсолютная погрешность . При прямом равноточном измерении сами погрешности ведут себя как случайные величины, т.е. сами должны мало отличаться друг от друга и тогда такие погрешности случайного характера подчиняются теории ошибок, и имеют различные виды распределения . В частности при проведении выборки оказалось что подчиняется нормальному закону распределения погрешности или закону Гаусса: (1)

— абсолютная погрешность

— среднеарифметический от среднеквадратического

— является общей оценкой среднего арифметического, которую можно рассматривать как случайную величину. Из формулы (1) видно, что центром распределения , который определяется наибольшим значением функции распределения, является значение .

Из рис 1. можно сформулировать критерий “Нормальности” функции распределения .

— нормальный закон.

9. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Интервал вер-ти

Рассмотренные точечные оценки параметров распределения дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной дове рителъной вероятностью

где q — уровень значимости; хн, хв— нижняя и верхняя границы интервала, находится истинное значение оцениваемого параметра

Для получения интервальной оценки нормально распределенной случайной величины необходимо:

• определить точечную оценку МО х̅ и СКО Sx случайной величины по формулам (6.8) и (6.11) соответственно;

• выбрать доверительную вероятность Р из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99;

• найти верхнюю хв и нижнюю хн границы в соответствии с уравнениями

полученными с учетом (6.1). Значения хн и хв определяются из таблиц значений интегральной функции распределения F(t) или функции Лапласа Ф(1).

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

(6.13)

где n — число измеренных значений; zp — аргумент функции Лапласа Ф(1), отвечающей вероятности Р/2. В данном случае zp называется квантильным множителем. Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей погрешности результата измерений. В общем случае доверительные интервалы можно строить на основе неравенства Чебышева. При любом законе распределения случайной величины, обладающей моментами первых двух порядков, верхняя граница вероятности попадания отклонения случайной величины х от центра распределения Хц в интервал tSx описывается неравенством Чебышева

где Sx — оценка СКО распределения; t — положительное число.

Для нахождения доверительного интервала не требуется знать закон распределения результатов наблюдений, но нужно знать оценку СКО. Полученные с помощью неравенства Чебышева интервалы оказываются слишком широкими для практики. Так, доверительной вероятности 0,9 для многих законов распределений соответствует доверительный интервал 1,6SX. Неравенство Чебышева дает в данном случае 3,16SX. В связи с этим оно не получило широкого распространения. Смысл понятий «доверительный интервал» и «доверительная вероятность» состоит в следующем: пусть a =0.95, тогда можно утверждать с надежностью 95%, что истинное значение величины xист не отличается от оценки (3) больше, чем на ± D xсл.

10. Нормировка интеграла вероятности.

Теоретически можно предположить существование погрешности в любом интервале её значений от

vunivere.ru

Случайные погрешности

Случайные погрешности представляют собой погрешности, в появлении каждой из которых не наблюдается какой-либо закономерности. Случайные погрешности неизбежны и неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения. Они вызывают рассеяние результатов при многократном и достаточно точном измерении одной и той же величины при неизменных условиях, вызывая различие их в последних значащих цифрах (результаты многократных измерений одной и той же постоянной величины в одних и тех же условиях с помощью одного и того же измерительного устройства одним и тем же оператором могут отличаться друг от друга).

Каждая случайная погрешность возникает в результате воздействия многих факторов, каждый из которых сам по себе не оказывает значительного влияния на результат.

Так как случайные погрешности не поддаются исключению из результатов измерений, то при рассмотрении их влияния на результат измерений задача сводится к изучению свойств совокупностей результатов отдельных наблюдений.

Природа и физическая сущность случайных и систематических составляющих погрешности измерений различна. Однако оценки неисключенных остатков систематических погрешностей и случайных погрешностей осуществляются на основе обработки статистического материала, представляющего собой совокупность результатов измерений.

Для изучения случайных погрешностей используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы применимы и для неисключенных систематических составляющих.

Распределения случайных величин

Дискретные и непрерывные случайные величины. По своей физической природе измеряемые величины могут быть детерминированными и случайными.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, отдельные значения которой можно перенумеровать.

Примерами дискретных случайных величин являются число изделий, отказавших в процессе испытаний, количество бракованных деталей в партии и т. д.

Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток. Примеры непрерывных случайных величин: отклонение размера изготовленной детали от номинала, погрешность измерения, величина отклонения формы детали, высота микронеровностей в данной точке поверхности и т. д.

Случайная величина не может характеризоваться каким-то одним значением. Для нее необходимо обязательно указать множество возможных значений и вероятностные характеристики, заданные на этом множестве.

Дискретные случайные величины полностью характеризуются вероятностями своих отдельных значений

Равенство X = хк является случайным событием.

Так как равенства X = хк образуют полную группу событий, то

Вероятностным описанием случайной величины является закон ее распределения.

Законом распределения случайной величины называют соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан в различной форме. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, например:

Такую таблицу называют рядом распределения. Графическое изображение ряда распределения называют полигоном распределения случайной величины (рис. 5.1).

Задание функции распределения является обшей формой закона распределения как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функцию распределения можно задать в виде интегрального закона распределения (функция распределения) и в виде дифференциального закона распределения (плотность вероятности).

Функцией распределения случайной величины X называют вероятность выполнения неравенства X 0 — неотрицательна;

Функция распределения F(x) выражается через плотность вероятности (р (х)

Функция распределения Я», как и вероятность, есть величина безразмерная, а плотность вероятности имеет размерность, обратную размерности случайной величины.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на заданный интервал (а, Ь) определяется выражением

Геометрически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и прямыми х = а и х = Ь (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Одно- (а) и двухмодальное (б) распределение вероятности случайной величины х

studme.org

Это интересно:

  • Опека в гусь-хрустальном Опека в гусь-хрустальном «Молодость – удивительная пора! Это время быть активными и стремиться к высоко поставленным целям» Гусь-Хрустальный район – территория динамичного развития Новости от 14.07.2018 Ваш браузер не поддерживает […]
  • Наследство по представлению доля Наследование по праву представления Наследование по праву представления является особым видом наследования по закону и имеет особый порядок призвания к наследованию наследников по закону. Наследование по праву представления – это […]
  • Возврат услуги в течение 14 дней Можно ли вернуть бытовую технику в магазин в течение 14 дней? Иногда, приобретя технологическую продукцию для повседневного использования в своем доме или в подарок, покупатель решает вернуть изделие обратно в магазин. Обычно товар […]
  • Правила все теже Как правильно пишется «теже» или «те же»? Слово «те же» пишется раздельно – те же. Только раздельное написание этого слова является правильным. Правило написания слова Элемент «же», который может быть как частицей, так и частью […]
  • Продажа дач облагается налогом Нужно ли платить налог на дачу? Предыдущая статья: Продажа дачи Наличие дачного участка и возведенной на нем жилой постройки дает его владельцу не только определенные права в части владения и распоряжению имуществом, но и наделяет […]
  • Заявление на енвд в 2018 году для ип образец Как заполняется новая форма ЕНВД 2 в 2018 году Следующая статья: Форма ЕНВД 1 Индивидуальными предпринимателями при переходе на налоговую систему единого налога на вмененный налог должно подаваться уведомление по форме […]