Закон нулевой жесткости

Тема 13. Введение в динамику

Мы уже неоднократно пользовались динамометром – прибором для измерения сил. Познакомимся теперь с законом, позволяющим измерять силы динамометром и обуславливающим равномерность его шкалы.

Известно, что под действием сил возникает деформация тел – изменение их формы и/или размеров. Например, из пластилина или глины можно вылепить предмет, форма и размеры которого будут сохраняться и после того, когда мы уберём руки. Такую деформацию называют пластической. Однако, если наши руки деформируют пружину, то когда мы их уберём, возможны два варианта: пружина полностью восстановит форму и размеры или же пружина сохранит остаточную деформацию.

Если тело восстанавливает форму и/или размеры, которые были до деформации, то деформация упругая. Возникающая при этом в теле сила – это сила упругости, подчиняющаяся закону Гука:

F упр – модуль силы упругости тела, Н
| D l| – модуль удлинения тела, м
k – коэффициент жёсткости тела, Н/м

Поскольку удлинение тела входит в закон Гука по модулю, этот закон будет справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел.

Опыты показывают: если удлинение тела мало по сравнению с его длиной, то деформация всегда упругая; если удлинение тела велико по сравнению с его длиной, то деформация, как правило, будет пластической или даже разрушающей. Однако, некоторые тела, например, резинки и пружины деформируются упруго даже при значительных изменениях их длины. На рисунке показано более чем двухкратное удлинение пружины динамометра.

Для выяснения физического смысла коэффициента жёсткости, выразим его из формулы закона. Получим отношение модуля силы упругости к модулю удлинения тела. Вспомним: любое отношение показывает, сколько единиц величины числителя приходится на единицу величины знаменателя. Поэтому коэффициент жёсткости показывает силу, возникающую в упруго деформированном теле при изменении его длины на 1 м.

  1. Динамометр является .
  2. Благодаря закону Гука в динамометре наблюдается .
  3. Явлением деформации тел называют .
  4. Пластически деформированным мы назовём тело, .
  5. В зависимости от модуля и/или направления приложенной к пружине силы, .
  6. Деформацию называют упругой и считают подчиняющейся закону Гука, .
  7. Закон Гука носит скалярный характер, так как с его помощью можно определить только .
  8. Закон Гука справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел, .
  9. Наблюдения и опыты по деформации различных тел показывают, что .
  10. Ещё со времени детских игр мы хорошо знаем, что .
  11. По сравнению с нулевым штрихом шкалы, то есть недеформированным начальным состоянием, справа .
  12. Чтобы понять физический смысл коэффициента жёсткости, .
  13. В результате выражения величины «k» мы .
  14. Ещё из математики начальной школы мы знаем, что .
  15. Физический смысл коэффициента жёсткости состоит в том, что он .

www.fizika.ru

Закон нулевой жесткости

Формула жесткости пружины – едва ли не самый важный момент в теме об этих упругих элементах. Ведь именно жесткость играет очень важную роль в том, благодаря чему эти комплектующие используются так широко.

Сегодня без пружин не обходится практически ни одна отрасль промышленности, они используются в приборо- и станкостроении, сельском хозяйстве, производстве горно-шахтного и железнодорожного оборудования, энергетике, других отраслях. Они верой и правдой служат в самых ответственных и критических местах различных агрегатов, где требуются присущие им характеристики, в первую очередь жесткость пружины, формула которой в общем виде очень проста и знакома детям еще со школы.

Особенности работы

Любая пружина представляет собой упругое изделие, которое в процессе эксплуатации подвергается статическим, динамическим и циклическим нагрузкам. Основная особенность этой детали – она деформируется под приложенным извне усилием, а когда воздействие прекращается – восстанавливает свою первоначальную форму и геометрические размеры. В период деформации происходит накопление энергии, при восстановлении – ее передача.

Именно это свойство возвращаться к исходному виду и принесло широкое распространение этим деталям: они отличные амортизаторы, элементы клапанов, предупреждающие превышение давления, комплектующие для измерительных приборов. В этих и других ситуациях, благодаря умению упруго деформироваться, они выполняют важную работу, поэтому от них требуется высокое качество и надежность.

Виды пружин

Видов этих деталей существует много, самыми распространенными являются пружины растяжения и сжатия.

  • Первые из них без нагрузки имеют нулевой шаг, то есть виток соприкасается с витком. В процессе деформации они растягиваются, их длина увеличивается. Прекращение нагрузки сопровождается возвращением в первоначальную форму – опять витком к витку.
  • Вторые – наоборот, изначально навиваются с определенным шагом между витками, под нагрузкой сжимаются. Соприкосновение витков является естественным ограничителем для продолжения воздействия.

Изначально именно для пружины растяжения было найдено соотношение массы подвешенного на ней груза и изменения ее геометрического размера, которое и стало основой для формулы жесткости пружины через массу и длину.

Какие еще бывают виды пружин

Зависимость деформации от прилагаемой внешней силы справедлива и для других видов упругих деталей: кручения, изгиба, тарельчатых, других. Не важно, в какой плоскости к ним прилагаются усилия: в той, где расположена осевая линия, или перпендикулярной к ней, производимая деформация пропорциональна усилию, под воздействием которого она произошла.

Основные характеристики

Независимо от вида пружин, особенности их работы, связанные с постоянно деформацией, требуют наличия таких параметров:

  • Способности сохранять постоянное значение упругости в течение заданного срока.
  • Пластичности.
  • Релаксационной стойкости, благодаря которой деформации не становятся необратимыми.
  • Прочности, то есть способности выдерживать различные виды нагрузок: статические, динамические, ударные.

Каждая из этих характеристик важна, однако при выборе упругой комплектующей для конкретной работы в первую очередь интересуются ее жесткостью как важным показателем того, подойдет ли она для этого дела и насколько долго будет работать.

Что такое жесткость

Жесткость – это характеристика детали, которая показывает, просто или легко будет ее сжать, насколько большую силу нужно для этого приложить. Оказывается, что возникающая под нагрузкой деформация тем больше, чем больше прилагаемая сила (ведь возникающая в противовес ей сила упругости по модулю имеет то же значение). Потому определить степень деформации можно, зная силу упругости (прилагаемое усилие) и наоборот, зная необходимую деформацию, можно вычислить, какое требуется усилие.

Физические основы понятия жесткость/упругость

Сила, воздействуя на пружину, изменяет ее форму. Например, пружины растяжения/сжатия под влиянием внешнего воздействия укорачиваются или удлиняются. Согласно закону Гука (так называется позволяющая рассчитать коэффициент жесткости пружины формула), сила и деформация между собой пропорциональны в пределах упругости конкретного вещества. В противодействие приложенной извне нагрузке возникает сила, такая же по величине и противоположная по знаку, которая направлена на восстановление исходных размеров детали и ее форму.

Природа этой силы упругости – электромагнитная, возникает она как следствие особого взаимодействии между структурными элементами (молекулами и атомами) материала, из которого изготовлена данная деталь. Таким образом, чем жесткость больше, то есть чем труднее упругую деталь растянуть/сжать, тем больше коэффициент упругости. Этот показатель используется, в частности, при выборе определенного материала для изготовления пружин для использования в различных ситуациях.

Как появился первый вариант формулы

Формула для расчета жесткости пружины, которая получила название закона Гука, была установлена экспериментально. В процессе опытов с подвешенными на упругом элементе грузами разной массы замерялась величина его растяжения. Так и выяснилось, что одна и та же испытуемая деталь под разными нагрузками претерпевает различные деформации. Причем подвешивание определенного количества гирек, одинаковых по массе, показало, что каждая добавленная/снятая гирька увеличивает/уменьшает длину упругого элемента на одинаковую величину.

В итоге этих экспериментов появилась такая формула: kx=mg, где k – некий постоянный для данной пружины коэффициент, x – изменение длины пружины, m – ее масса, а g – ускорение свободного падения (примерное значение – 9,8 м/с²).

Так было открыто свойство жесткости, которое, как и формула для определения коэффициента упругости, находит самое широкое применение в любой отрасли промышленности.

Формула определения жесткости

Изучаемая современными школьниками формула, как найти коэффициент жесткости пружины, представляет собой соотношение силы и величины, показывающей изменение длины пружины в зависимости от величины данного воздействия (или

равной ему по модулю силы упругости). Выглядит эта формула так: F = –kx. Из этой формулы коэффициент жесткости упругого элемента равен отношению силы упругости к изменению его длины. В международной системе единиц физических величин СИ он измеряется в ньютонах на метр (Н/м).

Другой вариант записи формулы: коэффициент Юнга

Деформация растяжения/сжатия в физике также может описываться несколько видоизмененным законом Гука. Формула включает значения относительной деформации (отношения изменения длины к ее начальному значению) и напряжения (отношения силы к площади поперечного сечения детали). Относительная деформация и напряжение по этой формуле пропорциональны, а коэффициент пропорциональности – величина, обратная модулю Юнга.

Модуль Юнга интересен тем, что определяется исключительно свойствами материала, и никак не зависит ни от формы детали, ни от ее размеров.

К примеру, модуль Юнга для ста

ли примерно равен единице с одиннадцатью нулями (единица измерения – Н/кв. м).

Смысл понятия коэффициент жесткости

Коэффициент жесткости – коэффициент пропорциональности из закона Гука. Еще он с полным правом называется коэффициентом упругости.

Фактически он показывает величину силы, которая должна быть приложена к упругому элементу, чтобы изменить его длину на единицу (в используемой системе измерений).

Значение этого параметра зависит от нескольких факторов, которыми характеризуется пружина:

  • Материала, используемого при ее изготовлении.
  • Формы и конструктивных особенностей.
  • Геометрических размеров.

По этому показателю можно сд

елать вывод, насколько изделие устойчиво к воздействию нагрузок, то есть каким будет его сопротивление при приложении внешнего воздействия.

Особенности расчета пружин

Показывающая, как найти жесткость пружины, формула, наверное, одна из наиболее используемых современными конструкторами. Ведь применение эти упругие детали находят практически везде, то есть требуется просчитывать их поведение и выбирать те из них, которые будут идеально справляться с возложенными обязанностями.

Закон Гука весьма упрощенно показывает зависимость деформации упругой детали от прилагаемого усилия, инженерами используются более точные формулы расчета коэффициента жесткости, учитывающие все особенности происходящего процесса.

  • Цилиндрическую витую пружину современная инженерия рассматривает как спираль из проволоки с круглым сечением, а ее деформация под воздействием существующих в системе сил представляется совокупностью элементарных сдвигов.
  • При деформации изгиба в качестве деформации рассматривается прогиб стержня, расположенного концами на опорах.

Особенности расчета жесткости соединений пружин

Важный моментом является расчет нескольких упругих элементов, соединенных последовательно или параллельно.

При параллельном расположении нескольких деталей общая жесткость этой системы определяется простой суммой коэффициентов отдельных комплектующих. Как нетрудно заметить, жесткость системы больше, чем отдельной детали.

При последовательном расположении формула более сложная: величина, обратная суммарной жесткости, равна сумме величин, обратных к жесткости каждой комплектующей. В этом варианте сумма меньше слагаемых.

Используя эти зависимости, легко определиться с правильным выбором упругих комплектующих для конкретного случая.

kurskmk.com

Регулирование напряжения электромагнитного компенсатора жесткости

Рубрика: Технические науки

Статья просмотрена: 49 раз

Библиографическое описание:

Гурова Е. Г., Кононов А. А., Колинченко А. О., Ледовских А. В., Сергеев А. А. Регулирование напряжения электромагнитного компенсатора жесткости // Молодой ученый. — 2012. — №11. — С. 35-37. — URL https://moluch.ru/archive/46/5589/ (дата обращения: 11.08.2018).

В [1] описана конструкция электромагнитного компенсатора жёсткости, предназначенного для установки параллельно упругим элементам виброизолирующих подвесок с целью коррекции коэффициента жёсткости последних. Работа электромагнитного компенсатора жесткости невозможна без системы перестройки, выполненной в виде электрического регулятора, перераспределяющего напряжение на катушках электромагнитов при изменении нагрузки.

Предположим, что напряжение на обоих электромагнитах должно изменяться одинаково, при этом на одном электромагните должно увеличиваться, на другом уменьшаться. Тогда сила тяги обоих электромагнитов:

Суммарное тяговое усилие электромагнитов в районе точки неустойчивого равновесия равно нулю.

Перепишем уравнение в виде

Решив уравнение, получим выражение зависимости изменения напряжения от изменения перемещения вибрирующего объекта относительно защищаемого :

Из зависимостей (4) и (5) видно, что регулятор может быть как линейным, так и нелинейным.

Рассмотрим, как должно изменяться напряжение на втором электромагните, если зависимость изменения напряжения от изменения перемещения на первом электромагните имеет нелинейный вид. Из выражения (4) видно, что зависимость имеет нелинейный вид. График этой зависимости представлен на рисунке 1.

Рис. 1. График зависимости изменения напряжения от изменения перемещения
вибрирующего объекта относительно защищаемого на одном из электромагнитов

Предположим, что нам известен закон, по которому должно изменяться напряжение на одном из электромагнитов, а закон изменения напряжения на втором электромагните необходимо найти.

Допустим, что нам известен закон изменения напряжения , а нужно найти:

Выполнив некоторые преобразования, уравнения (6) запишем в виде:

Решив уравнение (7), получим

Решение не принимаем во внимание, так как напряжение на обоих электромагнитах не может одновременно увеличиваться.

График зависимости изменения напряжения от изменения перемещения вибрирующего объекта относительно защищаемого представлен на рисунке 2. Как видно из рисунков 1 и 2 напряжение на одном электромагните должно увеличиваться , а другом – уменьшаться.

Рис. 2. График зависимости изменения напряжения от изменения перемещения
вибрирующего объекта относительно защищаемого на втором электромагните

Допустим, что нам известен закон изменения напряжения , а нужно найти:

Выполнив некоторые преобразования, уравнения (9) запишем в виде:

Решив уравнение (10), получим

Решение не принимаем во внимание, так как напряжение на обоих электромагнитах не может одновременно уменьшаться.

График зависимости изменения напряжения от изменения перемещения вибрирующего объекта относительно защищаемого представлен на рисунке 3. Как видно из рисунков 1 и 3 напряжение на одном электромагните должно увеличиваться, а другом – уменьшаться.

Рис. 3. График зависимости изменения напряжения от изменения перемещения
вибрирующего объекта относительно защищаемого на втором электромагните
При увеличении напряжения на катушке одного электромагнита при одновременном уменьшении напряжения на катушке второго электромагнита, силовая характеристика компенсатора перемещается параллельно самой себе. Это свойство электромагнитного компенсатора жесткости может быть использовано для обеспечения «плавания» участка нулевой жесткости виброизолятора при изменении внешних усилий, действующих на виброизолирующую подвеску.

Патент № 2010121808/11 (031010). Виброизолятор с электромагнитным компенсатором жёсткости [Текст] / Гурова Е.Г., В.Ю. Гросс (РФ). — № 2010121808/11; заявл. 28.05.2010. – реш. 23.06.2010 – 7 с.: ил.

moluch.ru

К практическому применению нелинейной системы перестройки компенсатора жёсткости

Рубрика: Технические науки

Статья просмотрена: 20 раз

Библиографическое описание:

Гурова Е. Г., Старостин П. Г. К практическому применению нелинейной системы перестройки компенсатора жёсткости // Молодой ученый. — 2009. — №12. — С. 48-51. — URL https://moluch.ru/archive/12/896/ (дата обращения: 11.08.2018).

Использование мощных энергетических установок не только на производстве, но и на всех видах транспорта неизбежно приводит к возникновению вибрации. Вибрация отрицательно влияет на надежность, долговечность самих машин, на сооружения, аппараты, в которых они установлены, а также на системы автоматического управления. Не редкость, что вибрация является одной из причин аварий. Наиболее остро проблема виброзащиты стоит в автомобилестроении, судостроении, где в качестве энергетических установок используются двигатели внутреннего сгорания (ДВС). Низкочастотные колебания, создаваемые ДВС, наиболее вредны для человека, вызывая различные заболевания. Поэтому на сегодняшний день борьба с механическими колебаниями (вибрацией) является одной из важнейших задач.

Существует множество способов уменьшения вибрации – это динамическое уравновешивание двигателей, применение динамических гасителей колебаний, активные виброзащитные системы с дополнительным источником вибрации и т.д. Наибольшее распространение получила виброизоляция, выполняемая в виде резинометаллических амортизаторов. Однако, отличаясь простотой и надёжностью, такие виброизоляторы малоэффективны, так как снижение их коэффициента жёсткости с целью уменьшения передаваемых динамических усилий, приводит к увеличению относительных перемещений ДВС и сочленяемого с двигателем оборудования. Этого недостатка лишены виброизоляторы с «плавающим» участком нулевой жёсткости. Применение виброизолирующих устройств с плавающим участком нулевой жёсткости [1] является наиболее перспективным методом снижения уровней вибрации. В таких виброизоляторах параллельно упругим элементам включены перестраивающиеся компенсаторы жёсткости, имеющие падающую силовую характеристику (отрицательный коэффициент жёсткости). На сегодняшний день разработано большое количество конструкций компенсаторов, однако они не отвечают современным требованиям виброизоляции. Из известных наиболее эффективным следует считать электромагнитный компенсатор жёсткости (ЭКЖ) [2], так как он наиболее полно отвечает требованиям идеальной виброизоляции как при постоянных по величине, так и при произвольно меняющихся нагрузках. Конструктивно ЭКЖ — два встречно включенных электромагнита, обеспечивающих устройству падающую силовую характеристику, что позволяет корректировать жёсткость виброизолятора в целом. Для нормального функционирования виброизолирующей подвески с коррекцией жёсткости при изменяющихся внешних нагрузках, компенсатор снабжен специальной системой перестройки. Для обеспечения плавания участка нулевой жёсткости при изменении усилий система перестройки перераспределяет напряжение на катушках электромагнитов. В [3] установлено, что закон изменения напряжения на электромагнитах при изменении перемещения может быть: линейным и нелинейным, как показано на рисунках 1, 2. В [4] показано, что нелинейный закон изменения напряжения на катушках электромагнитов может быть аппроксимирован квадратичной зависимостью:

, (1)

где — постоянный коэффициент.

Перейдем от переменным в (1) к переменным: , :

. (2)

где f(x) – исходная непрерывная функция;

x – независимая переменная.

Исследование виброизолирующей системы в обоих случаях системы перестройки показало, что наиболее предпочтительным является применение линейной системы перестройки. К тому же практически реализовать линейный вариант регулятора значительно проще. Поэтому попытаемся перейти от квадратично аппроксимированного нелинейного закона зависимости напряжения от относительного перемещения вибрирующего и защищаемого объектов к линейному закону. Так как виброизолирующая система работает при достаточно малых относительных перемещения вибрирующего и защищаемого объектов, то рассмотрим нелинейный закон, изображенный на рисунке 2 на отрезке [a, b] близким к началу координат. Выполнив ряд расчетов нелинейного закона изменения напряжения от изменения перемещения на заданном отрезке, можно заметить, что зависимость описывается уравнением (2), но при этом коэффициент . То есть нелинейная закон на отрезке [a, b] описывается уравнением

. (3)

.

Теперь попробуем выполнить приближение получить линейную зависимость, воспользовавшись теоремой Вейерштрасса [5]: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то, как было мало ни было положительное число , найдется полином достаточно высокой степени m, абсолютное отклонение которого от данной функции f(x) на отрезке [a, b] меньше, чем , то есть для всех точек имеет место неравенство

(4)

где — непрерывный аппроксимирующий обобщенный полином;

— квадратичное отклонение (отклонение от нуля).

Для функции (3) полиномом наилучшего приближения

(5)

где , — постоянные коэффициенты,

первой степени на отрезке [a, b] является

, (6)

где — полином Чебышева.

Действительно, согласно смыслу задачи разность

. (7)

есть полином наилучшего приближения, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке, то есть представляет собой полином Чебышева.

Необходимо определить коэффициенты и так, чтобы величина , согласно (4), была наименьшей.

(8)

наименее отклоняется от нуля на отрезке [a, b].

Необходимые коэффициенты в уравнении полинома (8) можно рассчитать из следующего выражения:

. (9)

Подставив уравнение (8) с полученными коэффициентами в выражение (6), получим

. (10)

Перейдём к переменным, действующим в системе перестройки компенсатора, то есть к приращению напряжения ΔU и приращению перемещения Δх:

. (11)

Характеристика, приближенно описывающая зависимость изменения напряжения от изменения перемещения, приведена на рисунке 3 (график 2). Из рисунка 3 видно, что на отрезке [a, b] характеристику можно описать уравнением (11), то есть полином первой степени с наименьшими отклонениями от заданной кривой (график 1), полученной в [4]. Следовательно, зависимость изменения напряжения на одном электромагните от изменения перемещения на отрезке [a, b] можно рассматривать прямолинейной. Причем отклонение от нуля можно рассчитать по выражению:

. (12)

Заметим, что отклонение реализуется в трех точках:

. (13)

Из рисунка 3, видно геометрически график функции (11) представляет собой среднюю параллель между секущей, проходящей через крайние точки, и касательной, параллельной этой секущей.

Рисунок 3 – Зависимости изменения напряжения на электромагните от

изменения перемещения : 1 – точная кривая; 2 – аппроксимированная кривая

Полученную зависимость изменения напряжения на электромагните достаточно просто использовать при математическом моделировании виброизолятора и для практической реализации системы перестройки.

1 Зуев, А. К. Основные положения теории виброизоляции произвольных пространственных колебаний [Текст] / А. К. Зуев // Снижение вибрации на судах : сб. науч. тр. / Новосиб. ин-т инженеров вод. трансп. – Новосибирск, 1991. – С. 4 – 17.

2 Гросс, В. Ю. Электромагнитный компенсатор жёсткости [Текст] / В.Ю. Гросс, В.А. Чирков, А.Ю. Крылов // Виброизоляция судовых силовых установок : сб. науч. тр. / Новосиб. ин-т инженеров вод. трансп. – Новосибирск, 1985. – С. 31 – 34.

3 Гурова, Е. Г. Виброизолирующая подвеска судовой энергетической установки с нелинейным электромагнитным компенсатором жёсткости [Текст] : автореферат дис. канд. техн. наук / Гурова Елена Геннадьевна. – Новосибирск, 2008. – 22 с.

4 Гурова, Е. Г. К описанию системы перестройки электромагнитного компенсатора жёсткости [Текст] / Е.Г. Гурова, В.Ю. Гросс // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока : сб. науч. тр. / Новосиб. гос. акад. вод. трансп. – Новосибирск, 2008. – №2. – С. 250– 253.

5 Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] : / Н.С. Пискунов; под ред. И.В. Кеппена. –М. : ФИЗМАТГИЗ, 1963. –851 с.

moluch.ru

Закон нулевой жесткости

26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь.

5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн.
Андроид iOS

− Учитель Думбадзе В. А.
из школы 162 Кировского района Петербурга.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

Период колебаний потенциальной энергии горизонтального пружинного маятника 1 с. Каким будет период ее колебаний, если массу груза маятника увеличить в 2 раза, а жесткость пружины вдвое уменьшить? (Ответ дайте в секундах.)

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника пропорционален периоду колебаний груза, который определяется выражением

Следовательно, увеличение массы груза маятника в 2 раза и уменьшение жесткости пружины в 2 раза приведет к увеличению периода колебаний потенциальной энергии пружинного маятника в 2 раза: Он окажется равным

У меня при делении дроби получилось 4 т.к (2m/m)/(k/2/k)=2/0.5 Подсткажите пожалуйста в чём ошибка?

Ошибки нет, но надо еще корень извлечь.

А я думала,что Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника пропорционален половине периода колебаний груза

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника РАВЕН половине периода колебаний груза.

Пропорциональность не означает равенство, это только утверждение о том, что если одна величина увеличилась в раз, то и вторая изменилась аналогично.

А у математического маятника период колебания потенциальной энергии как определяется?

Аналогично. Это период изменения . Он равен также равен половине периода колебаний математического маятника.

Здравствуйте , период колебаний потенциальной энергии и правда будет 2 с, но спрашивается то какой будет период колебаний, следовательно нужно домножить на 2, и получится 4 с

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника 1 с. Каким будет период ее колебаний, если массу груза маятника и жесткость пружины увеличить в 4 раза? (Ответ дайте в секундах.)

Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника в два раза меньше периода колебаний самого маятника. В свою очередь, период колебаний пружинного маятника зависит только от отношения массы груза и жесткости пружины:

Таким образом, одновременное их увеличение в 4 раза не приведет к изменению периода колебаний потенциальной энергии.

Добрый день! Хочу понять, как соотносятся утверждение «Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника пропорционален периоду колебаний груза» из задачи A6 № 526. с утверждением «Период колебаний потенциальной энергии пружинного маятника в два раза меньше периода колебаний самого маятника» в данной задаче?

По-моему, верное все-таки второе утверждение.

Оба утверждения верны. Так как пропорциональность означает не строгое равенство, а лишь закономерность. Увеличение в раз одной величины приводит к увеличение в раз другой. Этого замечания достаточно для решения задачи 526.

Кстати, обратите внимание, в рамках этого сайта уже обсуждалось, что для вертикального пружинного маятника необходимо различать полную потенциальную энергию, потенциальную энергию груза и потенциальную энергию пружины. Если первая имеет вдвое меньший период, чем период самих колебаний, то период двух последних энергий совпадает с периодом колебаний (см. комментарии к задаче 3104)

Спасибо за отклик. Обдумаю. А в этой задаче, тогда следует уточнить какой это маятник — горизонтальный или вертикальный и о колебаниях потенциальной энергии чего говорится в задаче. Иначе по каким признакам нужно понимать, о чем идет речь в задаче?!

Потенциальная энергия маятника равна сумме потенциальной энергии груза в поле тяжести и потенциальной энергии деформации пружины. Эта величина ведет себя независимо от того, как ориентирован маятник. Период ее изменения всегда равен половине периода колебаний груза. В сумме с кинетической энергией груза эта величина дает константу (полную механическую энергию маятника).

На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени. Какова полная механическая энергия маятника в момент времени, соответствующий на графике точке D? (Ответ дайте в джоулях.)

При колебании математического маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии, так как на маятник не действует никаких внешних сил, совершающих работу. В любой момент времени имеем

Из графика видно, что в моменты времени 0 с и 2 с потенциальная энергия имеет максимум, а значит, в эти моменты времени ее значение совпадает с величиной полной механической энергии. Отсюда

То есть 12 — потенциальная, а 4 — кинетическая? Полная энергия соответствует амплитуде?

так у вас же написано, что в моменты времени 0 с и 2 с потенциальная энергия имеет максимум, а значит, в эти моменты времени ее значение совпадает с величиной полной механической энергии. это не означает, что потенциальная=16, а кинетическая=0?

Все правильно, означает. И именно потому, что кинетическая энергия в этих точках равна нулю, по потенциальной энергии можно судить о всей полной механической энергии.

На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени. Какова кинетическая энергия маятника в момент времени ? (Ответ дайте в джоулях.)

При колебании математического маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии, так как на маятник не действует никаких внешних сил, совершающих работу. В любой момент времени имеем

Из графика видно, что в момент времени потенциальная энергия обращается в ноль. Следовательно, в этот момент времени кинетическая энергия совпадает с полной механической энергией. Значение последней можно найти из графика в точках максимума потенциальной энергии (когда обращается в ноль кинетическая энергия). В итоге, имеем

На рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно положения его равновесия) от времени.

Какова кинетическая энергия маятника в момент времени ? (Ответ дайте в джоулях.)

При колебании математического маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии, так как на маятник не действует никаких внешних сил, совершающих работу. В любой момент времени имеем

Из графика видно, что в момент времени потенциальная энергия достигает максимума и совпадает со значением полной механической энергии. Следовательно, в этот момент времени кинетическая энергия обращается в ноль. В итоге, имеем

На рисунке дан график зависимости координаты материальной точки от времени. Какова частота колебаний? (Ответ дайте в герцах.)

Из графика видно, что период колебания тела составляет 4 секунды. Отсюда находим частоту

Скорость тела, совершающего гармонические колебания меняется с течением времени в соответствии с уравнение где все величины выражены в СИ. Какова амплитуда колебаний скорости? (Ответ дайте в метрах в секунду.)

Общий вид закона изменения скорости тела со временем, совершающего колебания, имеет вид

где — амплитуда колебаний скорости. Сравнивая с заключаем, что амплитуда колебаний скорости равна

А разве закон не имеет вид:

В частном случае, да (если положить ).

.

Я совсем запутался.

В одних справочниках закон изменения скорости гармонических колебаний выглядит так:

А у вас на сайте увидел совсем другую формулу без «w» после амплитуды.

Как пользоваться такими формулами? Как тогда выглядят законы для координаты и ускорения?

Мой преподаватель говорил, что можна использовать и 1), и 2).

Все довольно просто. Сейчас я, возможно, скажу несколько сложных слов, но затем постараюсь разъяснить их смысл. Для простоты изложения речь будет идти об одномерном случае, на случай многих степеней свободы все легко обобщается.

Итак, главная задача механики — найти зависимость координаты тела от времени, то есть, по сути, найти некоторую функцию, которая каждому моменту времени сопоставляет некоторое значение координаты. Любое движение мы описываем при помощи второго закона Ньютона. В этот закон входит ускорение, которое является второй производной координаты тела по времени, и сила, которая обычно зависит от самой координаты. Также сила может зависеть от скорости тела, то есть от первой производной координаты по времени. Таким образом, с математической точки зрения второй закон Ньютона представляет некоторое соотношение между координатой, ее первой и второй производными. Такое соотношение называется в математике дифференциальным уравнение. Старшая производная, входящая в такое уравнение, — вторая. Математика говорит, что решение такого уравнения, то есть общий вид функции, удовлетворяющей нашему соотношению, зависит от двух произвольных постоянных, которые невозможно определить из уравнения. Эти произвольные постоянные определяются для каждого конкретного случая, например, при помощи так называемых начальных условий. То есть чтобы в точности понять, как будет двигаться тело, нужно знать не только, какие силы на него действуют, но и каковы его начальная координата и скорость. Две произвольные константы в решении подбираются таким образом, чтобы полученная нами функция и ее производная (то есть скорость) в начальный момент времени имели заданные значения.

Это абсолютно общая ситуация. Вспомните, когда мы говорим о движении тела с постоянным ускорением, чтобы в точности задать движение нам нужно именно два числа, начальная координата и начальная скорость.

Тоже самое справедливо и для колебания. Колебание конкретного маятника (то есть маятника с заданной собственной частотой) определяется также двумя числами. Обычно решение уравнения для маятника, получаемого из второго закона Ньютона, записывают в виде .

Здесь и играют как раз роль произвольных постоянных, которые нужно определять из начальных условий. Посчитаем скорость: . Пусть нам известно, что в нулевой момент времени координата и скорость маятника были равны и . Решив систему обычных уравнений , можно найти конкретные выражения для и через и .

Не буду приводить ответ в общем случае, если Вы захотите, то легко сделаете это сами. Расскажу только о конкретных случая. Пусть, например, известно, что в нулевой момент времени тело находится в положении равновесия (то есть ), а его скорость равна своей максимальной величине (то есть ). Тогда получаем для нашего конкретного случая, что система уравнений приобретает вид: . Из первого уравнения сразу понятно, что (первому уравнению, конечно, удовлетворяет и условие , но тогда наше решение получится нулевым, а нас это не устраивает). Второе тогда приобретает вид: , откуда . Таким образом мы нашли выражения для обеих постоянных. В итоге имеем: . При этом для ускорения получается . Если теперь обозначить через более привычное выражение для амплитуды , получатся более привычные формулы.

Рассмотрим еще один пример. Пусть теперь груз находится в крайнем положении, то есть его скорость равна нулю. Будем считать, что от отклонился в отрицательную сторону оси, то есть его координата равна . Тогда уравнения на начальные условия приобретают вид: . Из второго уравнения . Из первого: . Таким образом, для координаты имеет: (второе равенство при помощи формулы приведения). Для скорости: . Для ускорения: .

Конкретные формулы зависят от начальных данных. С учетом периодичности синусов и косинусов, пользуясь разными формулами приведения, можно из формул убирать знаки добавлять фазы и т.д.

Что касается формулы в задаче, там нет , частоты, так как подставлено ее конкретное значение:

phys-ege.sdamgia.ru

Это интересно:

  • Поводы и порядок проведения экспертизы живых лиц Судебно-медицинская экспертиза живых лиц : лекция Судебно-медицинская экспертиза живых лиц : лекция // Судебная медицина: Курс лекций / В.Б. Кан, И.Е. Беликов. – Екатеринбург: Изд-во Уральского юридического института МВД России, […]
  • Оперативный прокурор Прокуратура Московской области Условия и порядок приёма на службу в органы прокуратуры, требования, предъявляемые к лицам, назначаемым на прокурорские должности в прокуратуре, определены Федеральными законами «О прокуратуре […]
  • Группировка расходов по налогу на прибыль Расходы. Группировка расходов (Ст.252 НК) Расходами признаются обоснованные и документально подтвержденные затраты (убытки), осуществленные (понесенные) налогоплательщиком. Под обоснованными понимаются экономически оправданные […]
  • Чем отличается общая совместная от долевой собственности Два вида общей собственности на недвижимость (долевая и совместная) Совместная собственность на квартиру Гражданским кодексом РФ предусмотрено, что любое имущество, включая объект недвижимости, может на праве общей – совместной […]
  • Вопросы юристу по военной ипотеке Задайте вопрос юристу Мы консультируем военнослужащих по юридическим вопросам. Помогаем понять, защитить и использовать свои права для получения законных льгот. Находим действующее решение проблем в соответствии с законодательством. […]
  • Нотариусы экибастуза Нотариусы экибастуза Приемная:8 (7187) 341000 | Mail: [email protected] Уважаемые жители города Экибастуз! Меню » Государственные услуги » Центр обслуживания населения Государственная услуга «Регистрация смерти, в том […]