Относительная частота и закон больших чисел

Предположим, что у нас есть возможность провести случайный эксперимент неограниченное число раз в совершенно одинаковых, за исключением влияния случайного фактора, условиях. Относительная частота некоторого события равна отношению количества раз наступления этого события (“числа появлений события”) к общему количеству проведенных экспериментов (“числу повторов”). Эта величина может задаваться либо в виде дроби (например, 0,148), либо в процентном выражении (например, 14,8%). Формула для вычисления относительной частоты события имеет следующий вид:

f =

Например, если вы опросили 536 человек, которые согласились ответить на ваш вопрос, и нашли, что в 212 случаях семьи имеют достаточный доход размером $20000 или более, относительная частота будет равна:

212/536 = 0,396 или 39,6%.

Величина относительной частоты 39,6% определена для случайного эксперимента “выяснение дохода у человека; согласившегося ответить на вопрос” с представляющим интерес событием “доход составляет $20000 или более”. Если использовать такие определения, становится понятным, что в данном случае проведен случайный эксперимент, причем он повторен n — 536 раз. В данном случае можно также вести речь, и о другом случайном эксперименте, который также может представлять интерес, а именно, “определение дохода семей 536 человек, согласившихся ответить на вопрос”. Однако для этого более масштабного случайного эксперимента относительная частота не имеет смысла, поскольку этот эксперимент проведен только один раз.

Эти различия не тривиальны. Менеджеры часто считают, что подобная “строгость рассуждений” полезна лишь в случае более сложных проблем. Относительная частота и вероятность некоторого события — это близкие, но разные понятия. Существенное различие состоит в том, что вероятность представляет собой точное число, в то время как относительная частота — это случайное число. Это связано с тем, что вероятность события оказывается свойством базовой ситуации (случайного эксперимента, выборочного пространства, события), а относительная частота зависит от (случайных) результатов, получаемых при проведении случайного эксперимента n раз.

Относительные частоты могут использоваться для оценки (наилучшая приблизительная оценка) значения вероятности в случае наличия информации, основанной на предшествующем опыте. Так, например, величину относительной частоты (в данном случае величину 39,6% для достаточного уровня дохода) можно использовать в качестве приближения для истинного значения вероятности того, что при случайном выборе у человека, согласившегося ответить на вопрос, окажется достаточный уровень дохода. Таким, образом, данное значение, 0,396, можно использовать так, как будто это и есть вероятность. Не следует, однако, забывать о том, что существует различие между истинной (неизвестной) величиной вероятности и наилучшей приблизительной оценкой, полученной на основе рассмотрения относительной частоты.

Закон больших чиселгласит, что относительная частота должна быть близкой к вероятности, если эксперимент проведен много раз, т.е. при больших значениях n. Насколько, как правило, будет близка (случайная) величина относительной частоты к (фиксированной) величине вероятности? Это зависит от того, насколько правдоподобно данное событие и сколько раз повторен эксперимент (n). В табл. 6.3.1 представлены значения вероятности и стандартные отклонения.

studopedia.org

Закон больших чисел

Взаимодействуя ежедневно в работе или учебе с цифрами и числами, многие из нас даже не подозревают о том, что существует очень интересный закон больших чисел, применяемый, например, в статистике, экономике и даже психолого-педагогических исследованиях. Он относится к теории вероятностей и говорит о том, что среднее арифметическое какой-либо большой выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.

Вы, наверное, заметили, что понять сущность этого закона непросто, особенно тем, кто не особо дружит с математикой. Исходя из этого, мы бы хотели рассказать о нем простым языком (насколько это возможно, конечно), чтобы каждый мог хотя бы примерно уяснить для себя, что это такое. Эти знания помогут вам лучше разобраться в некоторых математических закономерностях, стать более эрудированным и положительным образом повлиять на развитие мышления.

Понятия закона больших чисел и его трактовка

Помимо рассмотренного нами выше определения закона больших чисел в теории вероятностей, можно привести и его экономическое толкование. В этом случае он представляет собой принцип, согласно которому частоту финансовых потерь конкретного вида можно предсказать с высокой степенью достоверности тогда, когда наблюдается высокий уровень потерь подобных видов вообще.

Помимо этого, в зависимости от уровня сходимости признаков можно выделить слабый и усиленный законы больших чисел. О слабом речь идет, когда сходимость существует по вероятности, а об усиленном – когда сходимость существует практически во всем.

Если интерпретировать несколько иначе, то следует сказать так: всегда можно найти такое конечное число испытаний, где с любой запрограммированной наперед вероятностью меньше единицы относительная частота появления какого-то события будет крайне мало отличаться от его вероятности.

Таким образом, общую суть закона больших чисел можно выразить так: результатом комплексного действия большого количества одинаковых и независимых случайных факторов будет такой результат, который не зависит от случая. А если говорить еще более простым языком, то в законе больших чисел количественные закономерности массовых явлений будут явно проявляться только при большом их числе (поэтому и называется закон законом больших чисел).

Отсюда можно сделать вывод, что сущность закона состоит в том, что в числах, которые получаются при массовом наблюдении, имеются некоторые правильности, обнаружить которые в небольшом количестве фактов невозможно.

Сущность закона больших чисел и его примеры

Закон больших чисел выражает наиболее общие закономерности случайного и необходимого. Когда случайные отклонения «гасят» друг друга, средние показатели, определенные для одной и той же структуры, приобретают форму типичных. Они отражают действия существенных и постоянных фактов в конкретных условиях времени и места.

Определенные посредством закона больших чисел закономерности сильны только тогда, когда представляют массовые тенденции, и они не могут быть законами для отдельных случаев. Так, вступает в силу принцип математической статистики, говорящий, что комплексное действие ряда случайных факторов способно стать причиной неслучайного результата. И наиболее яркий пример действия данного принципа – это сближение частоты наступления случайного события и его вероятности, когда возрастает количество испытаний.

Давайте вспомним обычное бросание монетки. Теоретически орел и решка могут выпасть с одной и той же вероятностью. Это означает, что если, к примеру, бросить монетку 10 раз, 5 из них должна выпасть решка и 5 – орел. Но каждый знает, что так не происходит практически никогда, ведь соотношение частоты выпадения орла и решки может быть и 4 к 6, и 9 к 1, и 2 к 8 и т.д. Однако с увеличением количества подбрасываний монетки, например, до 100, вероятность того, что выпадет орел или решка, достигает 50%. Если же теоретически проводить бесконечное количество подобных опытов, вероятность выпадения монетки обеими сторонами всегда будет стремиться к 50%.

На то, как именно упадет монетка, влияет огромное число случайных факторов. Это и положение монетки на ладони, и сила, с которой совершается бросок, и высота падения, и его скорость и т.д. Но если опытов много, вне зависимости от того, как воздействуют факторы, всегда можно утверждать, что практическая вероятность близка к вероятности теоретической.

А вот еще один пример, который поможет понять сущность закона больших чисел: предположим, что нам нужно оценить уровень заработка людей в каком-то регионе. Если мы будем рассматривать 10 наблюдений, где 9 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, среднее арифметическое составит 68 тыс. рублей, что, естественно, маловероятно. Но если мы возьмем в расчет 100 наблюдений, где 99 человек получают 20 тыс. рублей, а 1 человек – 500 тыс. рублей, то при расчете среднего арифметического получим 24,8 тыс. рублей, что уже ближе к реальному положению дел. Увеличивая число наблюдений, мы будем заставлять среднее значение стремиться к истинному показателю.

Именно по этой причине для применения закона больших чисел в первую очередь необходимо набрать статистический материал, чтобы получать правдивые результаты, изучая большое число наблюдений. Потому-то и удобно использовать этот закон, опять же, в статистике или социальной экономике.

Подведем итоги

Значение того, что закон больших чисел работает, сложно переоценить для любой области научного знания, и особенно для научных разработок в области теории статистики и методов статистического познания. Действие закона также обладает большим значением и для самих изучаемых объектов с их массовыми закономерностями. На законе больших чисел и принципе математической статистике основываются практически все методы статистического наблюдения.

Но, даже не беря во внимание науку и статистику как таковые, можно смело сделать вывод, что закон больших чисел – это не просто явление из области теории вероятностей, но феномен, с которым мы сталкиваемся практически каждый день в своей жизни.

Надеемся, теперь сущность закона больших чисел стала вам более понятна, и вы сможете легко и просто объяснить его кому-то другому. А если тема математики и теории вероятностей вам интересна в принципе, то рекомендуем почитать о числах Фибоначчи и парадоксе Монти Холла. Также познакомьтесь с приближенными вычислениями в жизненных ситуациях и самыми популярными числами. И, конечно же, обратите внимание на наш курс по когнитивистике, ведь, пройдя его, вы не только овладеете новыми техниками мышления, но и улучшите свои когнитивные способности в целом, в том числе и математические.

4brain.ru

ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В ФОРМЕ БЕРНУЛЛИ. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА;

Формулировка закона больших чисел в форме Бернулли основана на понятии «частота». На практике бывает не всегда возможно оценить вероятность события, опираясь только на свойства изучаемого объекта. Например, мы можем найти вероятность выпадения герба при подбрасывании монеты, она равна ½. А как найти вероятность поражения стрелком мишени? Как оценить вероятность брака при производстве продукции? Вот в этих случаях нам и необходимо понятие «частота».

Пусть А – случайное событие, связанное с некоторым опытом. Например, испытание – выстрел стрелком по мишени, событие А – поразить цель. Повторим опыт п раз в одних и тех же условиях, и пусть при этом событие А появится т раз.

Тогда отношение числа т опытов, в которых событие А произошло, к общему числу п проведенных опытов, называется частотой события А.

Так, если стрелок делает 10 выстрелов по мишени и попадает 8 раз, то частота события А – попадания по мишени при одном выстреле равна 8/10.

Оказывается, что при многократном повторении опыта частота близка к некоторому постоянному числу. Так, ещё с средние века многих естествоиспытателей интересовал вопрос: а какова частота выпадения герба? Действительно, близка ли она к ½ — вероятности появления герба? Каждый может провести подобный эксперимент. Мы же приведем таблицу результатов, полученных в XVШ веке французским естествоиспытателем Жоржем Бюффоном (1707-1788) и в начале ХХ века английским математиком и статистиком Карлом Пирсоном (1857-1936):

Видим, что при увеличении числа испытаний частота выпадения герба неуклонно приближается к числу ½.

Рассмотрим другой пример. В середине XIX века преподаватель высшей духовной школы в городе Брюнне (ныне г. Брно, Чехия) Грегор Иоганн Мендель проводил ставшие впоследствии знаменитыми опыты с горохом, в результате которых были открыты законы наследственности. Мендель скрестил два сорта гороха с желтыми и зелеными семенами, после чего растения дали только желтые семена. После самоопыления растений, выращенных из этих семян, появился горох с желтыми и зелеными плодами. Мендель подсчитал, что отношение числа растений с желтыми семенами к числу растений с зелеными семенами равно 3,01, т.е. частота появления зеленого плода примерно ¼, желтого – ¾. Ученый скрещивал растения, отличающиеся по форме плода, по расположению цветков и т.д., и каждый раз в первом поколении обнаруживал только один признак, который назвал «доминантный». Лишь во втором поколении появлялся второй признак – «рецессивный». И во всех случаях частота появления рецессивного признака была близка к ¼.

Впоследствии немецкий зоолог Вейсман и американский биолог Морган объяснили результаты опытов Менделя, вывели законы наследственности. Механизм наследования так же случаен, как и исход бросания монеты или игральной кости. Так что можно сказать, что природа иногда «играет в кости»!

Без знания частоты события трудно пришлось бы дешифровальщикам текстов. Еще во времена Юлия Цезаря использовали шифр замены. В нем по некоторому закону (ключу шифра) вместо одних букв использовались другие буквы, или буквы заменялись какими-либо символами. Такие шифры использовались на протяжении многих лет, пока не догадались, что их можно раскрыть и без ключа. Дело в том, что каждая буква в русском или иностранном алфавите обладает определенной частотой. Так наиболее часто встречающиеся буквы в зашифрованном тексте соответствуют наиболее употребляемым буквам в языке.

Приведем частоту некоторых букв русского алфавита:

studopedia.su

Относительная частота и закон больших чисел

Формирование умений и навыков решения задач на определение относительной частоты случайного события

Просмотр содержимого документа
«Относительная частота и закон больших чисел»

Тема: Относительная частота и закон больших чисел

Развивающая: создание условий для развития логического мышления, умения сравнивать, обобщать, делать выводы.

Воспитательная: создание условий для воспитания ответственности за свои действия.

Образовательная: сформировать понятия частота и вероятность случайного события, сформировать представление о законе больших чисел.

Задачи: формирование умений и навыков решения задач на определение относительной частоты случайного события.

Нам нередко приходится проводить наблюдения, опыты, участвовать в экспериментах или испытаниях. Часто подобные исследования заканчиваются некоторым результатом, который заранее предсказать нельзя.

Если открыть книгу наугад, то невозможно знать заранее, какой номер страницы вы увидите. Мы твердо знаем, что лето кончится, наступит осень, а затем зима. Но невозможно сказать заранее, будет эта зима теплой или холодной. Как правило, наблюдения или эксперимент определяются каким-то комплексом условий. Например, футбольный матч должен проходить по правилам.

Событием называется результат наблюдения, опыта, эксперимента.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Вы знакомы с классическим определением вероятности (доля успеха того или иного события). Оно не требует, чтобы испытание проводилось в действительности: теоретическим способом определяются все равновозможные и благоприятствующие событию исходы.

Задача. Бросили 100 раз игральный кубик. При бросании игрального куба на его верхней грани кубика выпадают очки:

И с х о д ы и с п ы т а н и я:

1. Выпадает одно очко.

2. Выпадает два очка.

3. Выпадает три очка.

4. Выпадает четыре очка.

5. Выпадает пять очков.

6. Выпадает шесть очков.

С л у ч а й н о е с о б ы т и е: — выпадет шесть очков.

Ч а с т о т а с о б ы т и я: — в данной серии экспериментов «шестёрка»

О т н о с и т е л ь н а я — отношение частоты к общему числу испытаний.

ч а с т о т а (в нашем случае 17/ 100 )

Такую оценку вероятности случайного события называют статистической. Ее используют в разных областях деятельности человека: физике, химии, биологии, страховом бизнесе, социологии, экономике, здравоохранении, спорте.

Относительной частотой
случайного события в серии испытаний называется

отношение числа испытаний, в которых это событие наступило,

к числу всех испытаний

M – число испытаний, при которых произошло событие А;

N – общее число испытаний;

W (A) = – относительная частота случайного события.

Проблемный вопрос: Почему важна относительная частота события?

Иван попал в мишень 3 раза, Петр – 4. Кто из них лучше стреляет?

Можно ответить, что Петр – лучше, так как больше число попаданий. Но мы не знаем, сколько у каждого было попыток. Например, Иван сделал всего три выстрела и попал все три раза, относительная частота попадания W (A) =3/3 = 1. А Петр сделал серию из 20 выстрелов и попал всего четыре раза: W (A) =4/20 = 0,2.)

Исследование. Подбрасываем монету 20 раз и наблюдаем за появлением орла. Результаты занести в таблицу с. 150

Мы видим, что в итоге все значения колеблятся около числа 0,5.

Ребята, мы можем с вами сделать вывод, который и позволяет сформулировать Закон больших чисел:

Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W (A) практически не отличается от его вероятности Р (А), т.е.

при большом числе испытаний.

IV. Закрепление знаний

№ 309 (дополнительная задача – при наличии свободного времени)

Событие А – исцеление пациентов после курса лечения;

M = 952 – число исцелившихся пациентов с помощью нового препарата;

N = 1000 – общее число пациентов;

W (A) = M / N = 952 : 1000 = 0, 952

§ 20 – выучить определение относительной частоты и закон больших чисел,

VI. Подведение итогов

Итак, мы сегодня познакомились с понятием относительной частоты случайного события и сформулировали закон больших чисел.

multiurok.ru

Разработка урока по теме «Относительная частота и закон больших чисел» (9 класс)

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта «Инфоурок» и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 258 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

Выбранный для просмотра документ КОНСПЕКТ.doc

Конспект урока алгебры в 9 классе

по теме: «Относительная частота и закон больших чисел»

Учитель: Панфилова Н.И.

Тема: Относительная частота и закон больших чисел

Дата: 23.01. 2015 г.

Цели урока: сформировать понятие относительной частоты случайного события и усвоить закон больших чисел; научиться вычислять относительную частоту случайного события; выработать умения решать простейшие задачи с использованием этих понятий.

Знания и умения: формирование умений и навыков решения задач на определение относительной частоты случайного события.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Необходимое техническое оборудование: Компьютер, интерактивная доска, учебник по алгебре (Колягин Ю.М. и др.), тетрадь по алгебре, электронная презентация, выполненная в программе Power Point, документ Google .

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний, повторение теоретического материала.

3. Объяснение нового материала.

4. Закрепление знаний.

5. Информация о домашнем задании.

6. Итог урока. Рефлексия.

Сообщение темы и цели урока.

Учитель проводит беседу.

Нам нередко приходится проводить наблюдения, опыты, участвовать в экспериментах или испытаниях. Часто подобные исследования заканчиваются некоторым результатом, который заранее предсказать нельзя.

Если открыть книгу наугад, то невозможно знать заранее, какой номер страницы вы увидите. Мы твердо знаем, что лето кончится, наступит осень, а затем зима. Но невозможно сказать заранее, будет эта зима теплой или холодной. Как правило, наблюдения или эксперимент определяются каким-то комплексом условий. Например, футбольный матч должен проходить по правилам.

Событием называется результат наблюдения, опыта, эксперимента.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Повторение и закрепление пройденного материала.

Для того чтобы постараться ответить на поставленный вопрос, давайте вспомним:

1. Какие события бывают? (достоверное, невозможное, случайное)

2. Какое событие называется достоверным? Выберете из предложенных вариантов достоверное событие. (Слайд 2)

3. Какое событие называется невозможным? Выберете из предложенных вариантов невозможное событие. (Слайд 3)

4. Какое событие называется случайным? Выберете из предложенных вариантов случайное событие. (Слайд 4)

Изучение нового материала.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 1. (Слайд 5)

На школьной олимпиаде по математике было предложено 5 заданий,
Алеша выполнил 3,5 задания, а Игорь – 2 задания.
У кого больше шансов стать победителем на школьной олимпиаде? (анализируем количество выполненных заданий)

Учитель: по количеству выполненных заданий больше шансов у Алеши.

Задача 2. (Слайд 6)

Бросили 100 раз игральный кубик. При бросании игрального куба на его верхней грани кубика выпадают очки:

И с х о д ы и с п ы т а н и я: 1. Выпадает одно очко.

2. Выпадает два очка.

3. Выпадает три очка.

4. Выпадает четыре очка.

5. Выпадает пять очков.

6. Выпадает шесть очков.

С л у ч а й н о е с о б ы т и е: — выпадет шесть очков.

Ч а с т о т а с о б ы т и я: — в данной серии экспериментов «шестёрка»

О т н о с и т е л ь н а я — отношение частоты к общему числу испытаний.

ч а с т о т а (в нашем случае 17 / 100 )

Такую оценку вероятности случайного события называют статистической. Ее используют в разных областях деятельности человека: физике, химии, биологии, страховом бизнесе, социологии, экономике, здравоохранении, спорте.

Относительной частотой
случайного события в серии испытаний называется
отношение числа испытаний, в которых это событие наступило,
к числу всех испытаний

M – число испытаний, при которых произошло событие А;

N – общее число испытаний;

W (A) = – относительная частота случайного события.

(Слайд 8). Проблемный вопрос: Почему важна относительная частота события?

Иван попал в мишень 3 раза, Петр – 4. Кто из них лучше стреляет?

Можно ответить, что Петр – лучше, так как больше число попаданий. Но мы не знаем, сколько у каждого было попыток. Например, Иван сделал всего три выстрела и попал все три раза, относительная частота попадания W (A) = = 1. А Петр сделал серию из 20 выстрелов и попал всего четыре раза: W (A) = = 0,2.)

(Cлайд 9-10). Рассмотрим Задачу 3.

Исследование. Два друга проводили испытания (опыты) с подбрасыванием монеты и наблюдали за появлением орла. Один из мальчиков подбрасывал монету и сообщал о том, что выпало – орел (О) или решка (Р). Второй мальчик вносил результаты испытаний во второй столбец таблицы.

На следующий день в школе они предложили провести этот опыт двадцати своим одноклассникам. Результат у всех получился приблизительно одинаковый.

(Слайд 11) Представим результаты на графике:

Результаты математической обработки (как график затухающих колебаний)

Мы видим, что в итоге все значения колеблятся около числа 0,5.

(Слайд 12). А давайте вспомним, чему равна вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты.

Р (А) = m / n = 1 / 2 = 0,5

(Слайд 13) Ребята, мы можем с вами сделать вывод, который и позволяет сформулировать Закон больших чисел:

Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W (A) практически не отличается от его вероятности Р (А), т.е.

при большом числе испытаний.

№ 309 (дополнительная задача – при наличии свободного времени)

Событие А – исцеление пациентов после курса лечения;

M = 952 – число исцелившихся пациентов с помощью нового препарата;

N = 1000 – общее число пациентов;

W (A) = M / N = 952 : 1000 = 0, 952

V . Домашнее задание (Слайд 14)

§ 20 – выучить определение относительной частоты и закон больших чисел,

VI . Подведение итогов

Итак, мы сегодня познакомились с понятием относительной частоты случайного события и сформулировали закон больших чисел.

Какими красками окрашен сегодняшний урок и почему? (Ответы)

infourok.ru

Это интересно:

  • Вакансии юрист великий новгород Работа юристом, помощником юриста, юрисконсультом: вакансии в Великом Новгороде 0 свежих вакансий www.job-nov.ruВсе вакансииЮриспруденция чтобы посмотреть контакты работодателя и другие подробности">Юрист от 20'000 до 26'000 […]
  • Штрафы по обязательному аудиту Штрафы по обязательному аудиту Отвественность за непроведение обязательного аудита С 10 апреля 2016 года вступают в силу поправки в ст. 15.11 КоАП РФ, по которой под грубым нарушением требований к бухгалтерскому учету […]
  • Штраф гибдд за ремни безопасности Какой штраф предусмотрен ГИБДД за непристегнутый ремень безопасности? Изобретенные в конце девятнадцатого века, ремни безопасности стали повсеместно применяться в автомобилестроении со второй половины двадцатого столетия. С тех пор […]
  • Трудовые пенсии в 2013 Повышение пенсий в 2013 году в России. Военные пенсии и пенсии по инвалидности в 2013 году Итак, вопрос, который волнует всех пенсионеров России, на сколько и главное, когда будет повышение пенсий в 2013 году, был поднят недавно на […]
  • Закон о налоговом возврате Налоговый вычет при покупке квартиры: рассчитываем по-новому Став счастливым обладателем квартиры, нет-нет да и задумываешься о немалых потраченных средствах. А ведь часть из них можно вернуть, получив имущественный налоговый вычет […]
  • Кто платит по штрафу ооо Долг по ООО здравствуйте! пришол штраф на ООО от экологии (20000)не оплатил. суд присудил не оплатил. продал фирму и через месяц приходит повторное постановление по тому же штрафу в двойне (40000) я директор теперь уже бывший . что […]