Учебное пособие предел

Предел функции. Некоторые замечательные пределы.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины.

Конечный предел. Бесконечный предел.

Предел функции. Число L называется пределом функции y = f ( x ) при x , стремящемся к a :


если для любого > 0 найдётся такое положительное число = ( ), зависящее от , что из условия | xa | 0 можно найти такое число , что если x находится в интервале ( a, a + ), то значение функции лежит в интервале ( L, L + ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается к a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва , где функция не существует.

П р и м е р . Найти

Р е ш е н и е . Подставляя x = 3 в выражение получим не имеющее смысла
выражение ( см. пункт «О выражениях, не имеющих смысла» на стр.
«Степени и корни» в главе «Алгебра»). Поэтому решим по-другому:

Сокращение дроби в данном случае корректно, так как x 3 ,
он лишь приближается к 3. Теперь мы имеем:

поскольку, если x стремится к 3, то x + 3 стремится к 6 .

Некоторые замечательные пределы.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

П р и м е р . Функция y = является бесконечно малой при x ,

cтремящемся к 4, так как

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

Символ ( “бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при x , стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x — 2 бесконечно большая , но она положительна как при x > 0, так и при x

Наоборот, функция y = — x — 2 всегда отрицательна, поэтому

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:

www.bymath.net

Учебно-методическое пособие по теме:
«Предел функции и непрерывность»

Методическое пособие по предмету «Высшая математика», разделу «Пределы», на тему «Предел функции и непрерывность», содержащее теоретический материал, иллюстрации, примеры и итоговый тест.

Предварительный просмотр:

Санкт-Петербургское Государственное Профессиональное Бюджетное Образовательное Учреждение «Колледж Информационных Технологий»

Предел функции и непрерывность

Учебное пособие по предмету

«Элементы высшей математики»

Составитель: Патреева Я.Т.

Теория пределов – одна из древнейших в истории математики, на протяжении многих веков занимавшая умы ученых. Знакомство с ней произошло еще в древности. Еще в 3 в. до н.э. Архимед вычислял площади криволинейных фигур с помощью метода «исчерпывания». Впоследствии ею интересовались такие ученые, как Г. Галилей, И. Кеплер, Ф. Паскаль, И. Ньютон. Но только сравнительно недавно, в 19 веке, эта теория приобрела стройность и форму, тот вид, с которым мы с ней знакомы по сей день.

Данное учебное пособие поможет читателю узнать суть и понятие пределов, их свойства и специфику, понятие непрерывности, а так же методы вычисления пределов.

Предел переменной и функции…………………………………. …. 4

Односторонние пределы……………………………………………. 5

Непрерывные функции и точки разрыва…………………………..…7

Глава 2. Вычисление пределов……………………………………………..…11

Вычисление пределов в точке и на бесконечности при наличии неопределенностей…………………………………………………………..….11

Глава 1. Теория пределов.

  1. Предел переменной и функции.

Опр.1. Пусть х – переменная величина. Будем говорить, что х стремится к а или предел х равен а, если модуль разности |x-a| сколь угодно мал.

Замечание. или означает, что, какое бы мы ни выбрали положительное число, значение х всегда будет больше этого числа.

Опр.2. Пусть дана функция y=f(x). Говорят, что предел функции в точке а равен числу b, если при всех х, достаточно близких к а, значения функции сколь угодно близки к b.

Свойства пределов функций.

А. Если предел функции существует, то он единственный.

Б. Предел суммы двух и более функций в точке а равен сумме пределов этих функций в точке а, если они существуют.

В. Предел произведения двух и более функций в точке а равен произведению пределов этих функций в точке а, если они существуют.

Г. Предел частного функций в точке а равен частному пределов этих функций в точке а, если они существуют и если предел знаменателя не равен нулю. , при

Д. Правило сжатой переменной: Если и и дана функция , т.ч. , то

Задание 1.1.1. По рисункам определить значение предела в точке а.

Пусть дана функция y=f(x), область определения которой обозначим , и точка .

Обозначим множества и .

Опр.3. Предел функции в точке на множестве назовем пределом функции в точке справа, а предел функции в точке на множестве назовем пределом функции в точке слева.

Пределы справа и слева называются односторонними пределами.

Теорема1 (б/д). Если существуют оба односторонних предела в точке и они равны, то существует предел функции в точке , равный их общему значению.

Теорема2 (б/д). Если хоть один из односторонних пределов функции в точке не существует, или же односторонние пределы функции в точке не равны, то предел функции в точке не существует.

  1. Непрерывные функции и точки разрыва.

Опр.4. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если существует предел функции в этой точке, равный значению функции в ней.

Опр.5. Функция f(x) называется непрерывной на множестве (отрезок, интервал, луч, прямая), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Свойства непрерывных функций.

А.Сумма двух и более функций, непрерывных в точке а – непрерывная в точке а функция.

Б.Произведение функций, непрерывных в точке а – непрерывная в точке а функция.

В.Частное функций, непрерывных в точке а – непрерывная в точке а функция при условии, что значение функции-знаменателя в точке а не равно нулю.

Опр.6. Говорят, что функция f(x) разрывна в точке а , если она не является непрерывной в ней.

Функция разрывна в точке а, если:

— Хоть один из односторонних пределов в точке а не существует;

-Существуют оба односторонних предела в точке а , не равные между собой;

— Существуют оба односторонних предела в точке а , равные между собой, но не равные значению функции в точке а .

Разрывные функции бывают двух видов.

  1. Разрыв 1 рода. (Если существуют оба односторонних предела в точке а). Этот вид разрыва делится на
  1. Устранимый (существуют конечные односторонние пределы в точке а , равные друг другу)
  2. Неустранимый (существуют конечные односторонние пределы в точке а , не равные друг другу или хоть один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен)
  1. Разрыв 2 рода( хоть один из односторонних пределов функции в точке а не существует).
  1. Разрыв 1 рода, устранимый.
  1. Разрыв 1 рода, неустранимый.
  1. Разрыв 1 рода, неустранимый.

Построить графики функций и указать вид разрыва.

  1. Замечание. Данная функция называется (знак х).

Глава 2. Вычисление пределов.

2.1.Вычисление пределов в точке и на бесконечности при наличии неопределенностей.

Задание 2.1.1. Вычислить предел

Замечание. Положим . В самом деле, если х стремится к бесконечности, знаменатель неограниченно растет, а значит, дробь неограниченно уменьшается, т.е. приближается к нулю.

Решение. Если необходимо вычислить предел частного двух многочленов, выносим из числителя и знаменателя переменную в наибольшей общей степени.

. Далее, сокращая вынесенные множители и полагая по предыдущему замечанию, , получаем

Задание 2.1.2. Вычислить предел .

Подставляя вместо х число 2, получаем неопределенность . Разложим числитель и знаменатель на множители.

Задание 2.1.3. Вычислить предел

Подставляя вместо х число -1, получаем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное иррациональности.

2.1.4. Задания для самостоятельной работы.

2.2. Замечательные пределы.

Существуют пределы, значение которых помогает решать широкий спектр задач. Приведем некоторые из них.

Положим без доказательства:

Задание 2.2.1. Вычислить предел . По свойствам пределов и приведенным выше формулам, получаем

Задание 2.2.2. Вычислить предел

2.2.3. Задания для самостоятельной работы:

2.3. Тест «Проверь себя»:

  1. Какая из перечисленных функций не является непрерывной?

А. 1 и 3 Б. 2 и 4 В. 2 Г. Все непрерывны

  1. Среди данных указать функцию, имеющую разрыв 1 рода, устранимый.

А. 1 и 5 Б. 2 и 5 В. только 5 Г. Только 1 Д. 3 и 5

  1. Вычислить предел последовательности:
  1. Про какую (какие) из функций известно: , ,

А. 1 Б. 2. В. 1 и 2 Г. 1 и 3 Д. 3 и 5 Е. 2 и 5

  1. У каких из функций есть неустранимый разрыв?

А. 2 Б. 3 В. 4 Г. 1 и 4 Д. 2 и 4 Е. 1, 2, 4 Ж. У всех.

А. 3/5 Б.5/3 В. 9/25 Г. 25/9

Список используемой литературы:

  1. Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Высшая математика, Москва, 2010.
  2. Шамолин М.В. Высшая математика, М., 2008
  3. Кремер Б.А. Высшая маематика, М., 2007
  4. Баврин И.И. Высшая математика, М, 2010
  5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.:Айрис-пресс, 2006
  6. Абчук В. А. Математика для менеджеров и экономистов: Учебник/ В. А. Абчук ; Соот. ГОСТУ. -СПб: Изд-во Михайлова В. А. , 2002. (Высшее профессиональное образование)
  7. Лисичкин В. Т. Математика : учебник/ Лисичкин В. Т.; Рек. Мин. образования РФ. -М: Высшая школа, 2003
  8. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник : рекомендовано Мин.образования/ ред. Ермаков В. И.. -М, 2004.
  9. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие. : рекомендовано Мин.образования/ ред. Ермаков В. И.. -М, 2004.
  10. Солодовников А. С.Солодовников А. С. Математика в экономике: Учебник.: в 2-х т. Ч 1.2/ Солодовников А. С., Бабайцев В. А.; Рек. Мин. образования РФ. — М, 2001.
  1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980
  2. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа, под ред. Яковлева Т.Н., ч. 1 и 2, М., 1987 г.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Данное учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов2 курса. Пособие составлено в соответствии с рабочей программой учебнойдисциплины «Математика» по специальностям 080114, 100701. Учеб.

Презентация к уроку Предел функции.

1. Пояснительная запискаНеобходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной подготовки. Всё больше специальностей связаны с непосредственным применением математ.

Предложен теоретический материал по пределам, разобраны примеры, даны примеры для самостоятельной работы студентов.

Учебная дисциплина «Математика» является образовательной учебной дисциплиной в цикле математических и общих естественно- научных дисциплин, которая обеспечивает необходимый уровень подготовки специали.

Тип занятия: комбинированный.Формы занятия: индивидуальная.Оборудование: проектор, компьютер, доска, рабочие тетради.Продолжительность занятия: 90 мин.Цели занятия:Дидактическая цель. Познакомить обуч.

Дифференциальное исчисление это раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Методы математического анализа нашли применение .

nsportal.ru

Это интересно:

  • Комментарий к кодексу законов о труде рф Комментарий к кодексу законов о труде рф Постатейный Комментарий к КЗоТ Российской Федерации Подготовлен коллективом авторов в составе: М.О. Буянова, канд. юрид. наук, доцент - главы IV, V, VIII (ст.ст. 110-117), XIII, XVII (ст. ст. […]
  • Форма заявления на единый налог Заявление на единый налог Скачать бланк заявления на единый налог, действующий с 2012 года - можно по ссылке Заявление на единый налог - бланк.rar (и приложениe - Розрахунок доходу зa попередній календарний рік.) Форма утверждена […]
  • Правила по теплоустановкам Обучение по тепловым энергоустановкам - ПТЭТЭ Срок обучения: от 36 до 72 часов Стоимость: от4000 рублей за специалиста Очный и заочный формат обучения Вам требуется обучить персонал по правилам работы в тепловых энергоустановках? […]
  • Закон больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле Закон больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле Средняя длина свободного пробега молекулы равна отношению пути, пройденного молекулой за 1 с, к числу происшедших за это время столкновений: = / =1/(42r 2 […]
  • Выплата алиментов рк Алименты в Казахстане: порядок истребования и необходимые процедуры В зaвисимости от различных жизненных ситуаций может возникнуть необходимость в выплате или истребовании алиментов. В данной статье вы узнаете, что такое алименты, […]
  • Козел пара на пару правила Козел пара на пару правила Основные правила и элементы тактики игры в домино «Козел (морской)» /пополняемая и обновляемая по мере разработки/ Козел это не подвид , вид и даже не тип с точки зрения биолог a , а лишь одно из […]