Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при xа, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1 ∞ , 1 0 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

  1. .
  2. .
  3. .

Обозначим .

Прологарифмируем это равенство . Найдем .

Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или .

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде

В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

Для того чтобы этот многочлен был «близок» к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.

Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому

Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

Учитывая третье условие и то, что

,

получим , т.е. .

Далее . Значит, , т.е. .

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1) (x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.

Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде

где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

    Рассмотрим функцию f(x)=e x . Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

Таким образом, получаем

Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .

Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

причем остаток

Отметим, что для любого x Î R остаточный член

Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина e ξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 e ξ x . Докажем, что при фиксированном x

Имеем

Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x| N можем написать

Но , не зависящая от n, а так как q x с любой степенью точности.

Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

.

Так как , то аналогично разложению e x можно показать, что для всех x.

Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

Можно доказать, что если x Î (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].

При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

Можно показать, что при |x| f(x2).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

  1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f ‘(x)≥ 0.
  2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ‘ (x)≥ 0 для a 0, то x 0. Но тогда и Аналогично, если Δx x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x) 0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x10,x1x2>0 Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f ‘(x)≥0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f ‘(x)>0 – для возрастания или f ‘(x)

www.toehelp.ru

Правило лопиталя в степени

  • Образовательный форум — онлайн помощь в учебе →
  • Помощь в решении задач →
  • Математика (Модераторы: Semen_K, Данила, lu, Dlacier, tig81) →
  • Вычислить предел не используя метод «Деление на большую степень»

Автор Тема: Вычислить предел не используя метод «Деление на большую степень» (Прочитано 2617 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

  • Образовательный форум — онлайн помощь в учебе →
  • Помощь в решении задач →
  • Математика (Модераторы: Semen_K, Данила, lu, Dlacier, tig81) →
  • Вычислить предел не используя метод «Деление на большую степень»

Похожие темы (5)

  • © Webmath.ru — контрольные работы и курсовые работы на заказ
  • SMF 2.0.14 | SMF © 2017, Simple Machines
  • Карта сайта

Размер занимаемой памяти: 3.5 мегабайта.
Страница сгенерирована за 0.157 секунд. Запросов: 20.

www.webmath.ru

Правило лопиталя в степени

  • Образовательный форум — онлайн помощь в учебе →
  • Помощь в решении задач →
  • Математика (Модераторы: Semen_K, Данила, lu, Dlacier, tig81) →
  • Помогите вычислить пределы, не используя правило Лопиталя!

Автор Тема: Помогите вычислить пределы, не используя правило Лопиталя! (Прочитано 5240 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

  • Образовательный форум — онлайн помощь в учебе →
  • Помощь в решении задач →
  • Математика (Модераторы: Semen_K, Данила, lu, Dlacier, tig81) →
  • Помогите вычислить пределы, не используя правило Лопиталя!

Похожие темы (5)

  • © Webmath.ru — контрольные работы и курсовые работы на заказ
  • SMF 2.0.14 | SMF © 2017, Simple Machines
  • Карта сайта

Размер занимаемой памяти: 3.5 мегабайта.
Страница сгенерирована за 0.355 секунд. Запросов: 20.

www.webmath.ru

Один в степени бесконечность

Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль.

Второй замечательный предел иначе можно записать так:

а если α=f(x), при условии f(x)→0, при x→0, имеем:

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

(не забываем о требовании f(x)→0, при x→0).

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

www.matematika.uznateshe.ru

Основные неопределенности пределов и их раскрытие

В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.

Выделяют следующие основные виды неопределенностей:

  1. Деление 0 на 0 » open=» 0 0 ;
  2. Деление одной бесконечности на другую » open=» ∞ ∞ ;

0 , возведенный в нулевую степень » open=» 0 0 ;

  • бесконечность, возведенная в нулевую степень » open=» ∞ 0 .
  • Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.

    Раскрытие неопределенностей

    Раскрыть неопределенность можно:

      С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );

    С помощью замечательных пределов;

    С помощью правила Лопиталя;

    Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

    Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

    Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

    Вычислите предел lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 .

    Решение

    Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

    lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 — 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

    Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x — 1 x 5 + 3 = 3 2 .

    Вычислите предел lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 .

    Решение

    У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить x = 0 .

    ( x 2 + 2 , 5 ) x = 0 = 0 2 + 2 , 5 = 2 , 5

    Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

    lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2

    Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1 x 2 = x — 2 . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x — 2 = + ∞

    Таким образом, можно записать, что lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .

    Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0 , и получаем:

    lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞

    Ответ: lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = + ∞ .

    Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

    Вычислите предел lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 .

    Решение

    Выполняем подстановку значений.

    lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = 1 2 — 1 1 — 1 = » open=» 0 0

    В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

    lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = » open=» 0 0 = lim x → 1 ( x — 1 ) · ( x + 1 ) x — 1 = = lim x → 1 ( x — 1 ) · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) x — 1 = lim x → 1 ( x + 1 ) · x — 1 = = 1 + 1 · 1 — 1 = 2 · 0 = 0

    Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

    Ответ: lim x → 1 x 2 — 1 x — 1 = 0

    Вычислите предел lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x .

    Решение

    Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

    lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = 3 — 3 12 — 3 — 6 + 3 = 0 9 — 9 = » open=» 0 0

    Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12 — x + 6 + x :

    lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = » open=» 0 0 = lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x — 6 + x 12 — x + 6 + x

    Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

    lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x — 6 + x 12 — x + 6 + x = lim x → 3 x — 3 12 — x + 6 + x 12 — x 2 — 6 + x 2 = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x 12 — x — ( 6 + x ) = = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x 6 — 2 x = lim x → 3 ( x — 3 ) 12 — x + 6 + x — 2 ( x — 3 ) = = lim x → 3 12 — x + 6 + x — 2 = 12 — 3 + 6 + 3 — 2 = 9 + 9 — 2 = — 9 = — 3

    Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

    Ответ: lim x → 3 x — 3 12 — x — 6 + x = — 3 .

    Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

    Вычислите предел lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 .

    Решение

    lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = 1 2 + 2 · 1 — 3 3 · 1 2 — 5 · 1 + 2 = » open=» 0 0

    В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0 , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х — 1 ,и тогда неопределенность исчезнет.

    Выполняем разложение числителя на множители:

    x 2 + 2 x — 3 = 0 D = 2 2 — 4 · 1 · ( — 3 ) = 16 ⇒ x 1 = — 2 — 16 2 = — 3 x 2 = — 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x — 3 = x + 3 x — 1

    Теперь делаем то же самое со знаменателем:

    3 x 2 — 5 x + 2 = 0 D = — 5 2 — 4 · 3 · 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 — 1 2 · 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 · 3 = 1 ⇒ 3 x 2 — 5 x + 3 = 3 x — 2 3 x — 1

    Мы получили предел следующего вида:

    lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = » open=» 0 0 = lim x → 1 x + 3 · x — 1 3 · x — 2 3 · x — 1 = = lim x → 1 x + 3 3 · x — 2 3 = 1 + 3 3 · 1 — 2 3 = 4

    Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

    Ответ: lim x → 1 x 2 + 2 x — 3 3 x 2 — 5 x + 2 = 4 .

    Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0 , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

    Например, lim x → ∞ ( x 4 + 2 x 3 — 6 ) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 — 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .

    Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x → ∞ у нас возникает неопределенность вида » open=» ∞ ∞ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x m a x ( m , n ) . Приведем пример решения подобной задачи.

    Вычислите предел lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 .

    Решение

    lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = » open=» ∞ ∞

    Степени числителя и знаменателя равны 7 . Делим их на x 7 и получаем:

    lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 — 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 — 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 — 0 3 + 0 = 1 3

    Ответ: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 — 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

    Вычислите предел lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

    Решение

    lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = » open=» ∞ ∞

    Числитель имеет степень 8 3 , а знаменатель 2 . Выполним деление числителя и знаменателя на x 8 3 :

    lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

    Ответ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

    Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

    Решение

    lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = » open=» ∞ ∞

    У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 10 3 . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x 10 3 :

    lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 — 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ — 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 — 0 1 + 0 + 0 3 = 0

    Ответ: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 — 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

    В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

    Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

    Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

    Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

    Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.

    www.zaochnik.com

    Это интересно:

    • Признаки наследования групп крови ГРУППЫ КРОВИ (генетика) ГРУППЫ КРОВИ (генетика). Группы крови открыты в начале XX века Landsteiner (1900, 1901) и Jansky (1907). Их обозначение: 0, А, В и АВ было введено в 1910 г. Dungern и Hirzfeld. Согласно представлениям […]
    • Х стремится к у правило Правило Лопиталя с примерами Правило Лопиталя (п. Л.) облегчает вычисление пределов функций. Например, надо найти предел функции, которая является отношением функций стремящихся к нулю. Т.е. отношение функций это неопределенность […]
    • Возврат на штрих м Элвес-МК инструкция по кассовому аппарату Начало работы. Включить аппарат выключателем, находящимся на задней поверхности аппарата. На табло ВЫБОР. Если на табло вместо надписи ВЫБОР выводится дата, например 01-02-15 или другая […]
    • Авито работа с проживанием в оренбурге Работа Автомойщик Оренбург Чтобы устроиться на должность Автомойщик в г. Оренбург, часто требуется: Требуются мойщики. Обязанности: быстрая new_releasesи качественная мойка автомобилей. Мойка находится на первой линии у дороги. […]
    • Авито работа с проживанием в казани Работа Сиделка Казань Чтобы устроиться на должность Сиделка в г. Казань, часто требуется: В активно развивающейся стоматологии new_releasesоткрыта вакансия врачастоматолога, в связи с расширением персонала и открытием новой клиники. […]
    • Суды горНовороссийска Суды горНовороссийска Судебный участок №157 Красноармейского района к делу №5-147\2012 ПОСТАНОВЛЕНИЕ ст.Полтавская Красноармейского района 02 апреля 2012 года Мировой судья судебного участка №157 Красноармейского района […]