Оглавление:

Последовательности и функции: их ограниченность и непрерывность с точки зрения высшей математики (программа элективного курса)

Разделы: Математика

Данная программа элективного курса своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 10–11-х классов, которым интересна математика.

Предлагаемый курс освещает не рассматриваемые в общем курсе школьной математики вопросы.

Целью курса является формирование базы для продолжения математического образования в вузах различного профиля, развития интереса к предмету, расширения кругозора учащихся. Реализация поставленных целей будет способствовать овладению учащимися основами математической культуры, становлению личности.

Изучение курса осуществляется в 10–11-х классах, на него отводится 35 часов.

Содержание курса имеет теоретическую и практическую составляющую.

Теоретический материал строится на основе тем, включённых в инвариантный профильный курс математики в разделе “Начала математического анализа”. В программу элективного курса включены следующие разделы:

  1. Последовательности и функции.
  2. Предел последовательности.
  3. Предел функции.
  4. Приложение теории пределов.

Содержание и логика построения теоретического материала элективного курса в основном соответствует содержанию и логике построения теоретического материала основного курса (раздел “Начала математического анализа”) и нацелены на расширение математических знаний, полученных на уроках и факультативных занятиях.

Практическая часть курса реализуется через включение учащихся в коллективную, групповую и самостоятельную деятельность.

При проведении занятий по курсу на первое место выйдут такие формы организации занятий, как лекция, практические семинары. При подготовке к практическим семинарам учащимся необходимо использовать справочники, энциклопедическую литературу, учебные пособия для техникумов и вузов. Большое внимание в практической части курса уделяется осуществлению “поисковой” работы в книжно – журнальных областях, написанию реферативных работ по избранным вопросам математики. За счёт практической части курса осуществляется связь с жизнью, идёт формирование ключевых компетенций, что способствует удержанию стойкого интереса к теоретическому материалу. В практической части курса учитывается личностные интересы учащихся, поэтому для выполнения заданий должны предлагаться варианты.

Не исключено, что данный курс поможет учащимся найти свое призвание в профессиональной деятельности, требующей использовать точные науки или, по крайней мере, приобретение вне профессионального увлечения.

В процессе реализации данного курса предполагается осуществление личностно-деятельностного подхода, базирующегося на применении активных методов обучения.

Результаты изучения данного курса могут быть выявлены в рамках следующих форм контроля:

  • текущий контроль (беседы по изученным темам, тестирование по теории);
  • тематический контроль (написание рефератов (см. список рефератов));
  • зачётный практикум (индивидуальные домашние задания (решение примеров для

самостоятельной работы), творческие задания(доклады, содоклады));

  • итоговый (выполнение контрольных работ).

В результате изучения курса “Последовательности и функции: их ограниченность и непрерывность с точки зрения высшей математики” учащиеся должны

Знать, понимать:

  • определение последовательности, предела последовательности, бесконечно малой и бесконечно большой последовательности;
  • определение функции, предела функции, свойства пределов функции;
  • правила вычисления пределов последовательностей и функций;
  • прикладное значение теории пределов.
  • Уметь:

  • вычислять пределы последовательностей и функций;
  • исследовать последовательности на ограниченность, функции – на непрерывность, определять характер точек разрыва функции;
  • решать прикладные задачи с помощью теории пределов.
  • осуществлять поиск математической информации по определённой теме в различных источниках;
  • подготовить реферат, доклад;
  • применить полученные знания в процессе решения практических задач.
  • Наименование разделов и тем

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    1.1–2 Математический анализ 1

    Тематический план

    Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича

    Направление «Прикладная математика и информатика»

    2017/2018 уч. г., 1 курс, 1 семестр

    Лектор к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и дискретной математики М. Э. Абрамян

    Лекция 1. Границы множеств

    Содержание лекции 1. Аксиома непрерывности вещественных чисел. Границы и грани (точные границы) числовых множеств: определение, теорема о существовании верхней (нижней) грани у непустого ограниченного сверху (снизу) множества. Максимальные и минимальные элементы множества: определение. Сумма множеств и произведение множества на число: определение, теоремы о гранях суммы множеств и произведения множества на число.

    Лекция 2. Предел последовательности

    Содержание лекции 2. Окрестность и симметричная окрестность точки на числовой прямой: определения и свойства. Последовательность: определение и примеры. Определение предела последовательности на языке окрестностей и на языке симметричных окрестностей (на языке epsilon–N), доказательство их равносильности. Примеры нахождения пределов последовательностей. Пример последовательности, не имеющей предела.

    Лекция 3. Свойства предела последовательности

    Содержание лекции 3. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Бесконечно малая последовательность: определение и арифметические свойства. Признак сходимости в терминах бесконечно малой последовательности. Арифметические теоремы о пределах последовательностей.

    Лекция 4. Бесконечные пределы

    Содержание лекции 4. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах для последовательностей. Окрестность бесконечно удаленной точки. Бесконечно большая последовательность: определение, теорема о единственности предела бесконечно большой последовательности, арифметические теоремы о пределах бесконечно больших последовательностей.

    Лекция 5. Монотонные последовательности

    Содержание лекции 5. Монотонные последовательности: определения. Теорема о существовании предела для монотонных ограниченных последовательностей, примеры применения теоремы — нахождение пределов различных последовательностей, в том числе последовательности (1+1/n)^n.

    Лекция 6. Подпоследовательности

    Содержание лекции 6. Последовательность вложенных и последовательность стягивающихся сегментов: определения. Теорема о вложенных сегментах. Предельная точка множества: два определения, доказательство их равносильности. Теорема о предельной точке (Больцано-Коши). Подпоследовательность: определение и примеры. Теорема о сходимости подпоследовательностей сходящейся последовательности.

    Лекция 7. Фундаментальные последовательности

    Содержание лекции 7. Теорема Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности, следствие. Фундаментальная последовательность: определение. Критерий Коши сходимости последовательности. Определение предела функции на языке окрестностей, определение предела функции на языке симметричных окрестностей (на языке epsilon-delta).

    Коллоквиум

    Лекция 8. Предел функции

    Содержание лекции 8. Теорема о единственности предела функции. Критерий существования предела функции в терминах пределов последовательностей. Примеры функций, имеющих и не имеющих предел. Пределы функции в бесконечно удаленных точках и бесконечные пределы: определения.

    Лекция 9. Свойства предела функции

    Содержание лекции 9. Предел функции и арифметические операции. Теорема о переходе к пределу в неравенствах для функций. Теорема о пределе суперпозиции функций, пример.

    Лекция 10. Односторонние пределы

    Содержание лекции 10. Односторонние пределы: определение. Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов. Вычисление некоторых пределов функций (первый и второй замечательные пределы). Монотонные функции, ограниченные функции: определения. Теоремы о существовании пределов у монотонных ограниченных функций.

    Лекция 11. Непрерывность функции в точке

    Содержание лекции 11. Теоремы о существовании пределов у монотонных ограниченных функций (продолжение). Критерий Коши существования предела функции. Определение непрерывной функции в точке, примеры непрерывных функций. Свойства непрерывных функций: отличие от нуля и сохранение знака в окрестности точки, в которой непрерывная функция отлична от нуля; арифметические свойства непрерывных функций.

    Лекция 12. Непрерывность функции на отрезке

    Содержание лекции 12. Теорема о пределе суперпозиции в случае, когда внешняя функция непрерывна, следствие о непрерывности суперпозиции непрерывных функций. Функция, непрерывная на множестве: определение. Теорема о промежуточном значении, следствие.

    Лекция 13. Равномерная непрерывность

    Содержание лекции 13. Теорема Вейерштрасса 1 (об ограниченности функции, непрерывной на сегменте). Теорема Вейерштрасса 2 (о существовании минимального и максимального значения функции, непрерывной на сегменте). Функция, равномерно непрерывная на множестве X: определение, непрерывность равномерно непрерывной функции. Пример функции, не являющейся равномерно непрерывной: sin(1/x) на (0, 1].

    Лекция 14. Точки разрыва

    Содержание лекции 14. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на сегменте. Точки разрыва функции, их классификация и примеры. Теорема о точках разрыва монотонной функции, следствие. Критерий непрерывности монотонной функции f, определенной на сегменте [a,b], в терминах ее множества значений f([a,b]). Теорема о непрерывности обратной функции.

    Лекция 15. О-символика

    Содержание лекции 15. Использование теоремы о непрерывности обратной функции для обоснования непрерывности функций arcsin x и arctg x. Функции, бесконечно малые по сравнению с другими функциями (o-символика). Бесконечно малые и бесконечно большие функции более высокого порядка, примеры. Функции, ограниченные по сравнению с другими функциями (O-символика). Функции, эквивалентные в точке: определение и свойства. Дифференцируемость функции в точке и производная функции: определения. Эквивалентность дифференцируемости в точке и существования в этой точке производной. Непрерывность дифференцируемой функции.

    Лекция 16. Дифференцируемые функции

    Содержание лекции 16. Дифференциал: определение. Вычисление производных некоторых элементарных функций. Арифметические теоремы о вычислении производных, следствия. Теорема о производной суперпозиции, следствия.

    Лекция 17. Дифференцируемые функции — 2

    Содержание лекции 17. Теорема о производной обратной функции, следствия. Гиперболические функции: определение и свойства. Обратные гиперболические функции. Производные гиперболических и обратных гиперболических функций. Производные высших порядков: определение и примеры (производные высших порядков для функций sin(x), cos(x), показательной, степенной функции и логарифма).

    Лекция 18. Формула Лейбница. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

    Содержание лекции 18. Число сочетаний: определение и свойства. Формула Лейбница дифференцирования произведения. Точки локального минимума, максимума, экстремума, точки внутреннего экстремума: определения. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл.

    edu.mmcs.sfedu.ru

    4. Производная, дифференциальное исчисление

    4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей

    Рассмотрим отношение двух функций $f(x)/g(x)$. Иногда возникает ситуация, когда $f(x)\rightarrow 0$, $g(x)\rightarrow 0$ при $x \rightarrow c$, где $c$ — конечное число. В этом случае говорят о неопределенности типа $0/0$ при $x \rightarrow c$. Вычисление значения $\lim _f(x)/g(x)$ называется раскрытием неопределенности. Такого типа задачи можно решать с помощью следующей теоремы.

    Теорема (Правило Лопиталя). Пусть $f(x), g(x)$ дифференцируемы на интервале $(a,b)$, и в некоторой точке $c\in (a,b)$ выполняются равенства: $f(c)=g(c)=0$. Предположим, что существует предел $\lim _ < x \to c>\left (f'(x)/g'(x)\right )$. Тогда существует и предел $\lim _< x \to c>\left ( f(x)/g(x)\right )$, причем \[ \lim _ < x \to c>\frac=\lim _ < x \to c>\frac. \]

    Возьмем какую-нибудь точку $x \in (a,b)$, $x >c$, и применим к интервалу $(c,x)$ теорему Коши (все условия ее выполняются). Согласно этой теореме существует точка $\xi \in (c,x)$ такая, что

    Так как $f(c)=g(c)=0$, имеем:

    При $x \to c$ имеем: $\xi \to c$. Устремим в последнем равенстве значение $x$ к $c$. Согласно условию теоремы, выражение в правой части имеет предел, так что и выражение в левой части имеет тот же предел.

    Рассмотрим неопределенность $\sin(2x)/\sin(5x)$ при $x \to 0$. Применим правило Лопиталя. Вычисляем производные от числителя и знаменателя: $(\sin (2x))’=2\cos (2x)$, $(\sin (5x))’=5\cos (5x)$. При этом отношение производных имеет при $x \to 0$ конечный предел,

    Имеются варианты правила Лопиталя и в том случае, когда предельная точка $c$ находится на бесконечности, и для раскрытия неопределенностей типа $\infty /\infty$.

    Иногда для раскрытия неопределенности требуется применить правило Лопиталя несколько раз.

    Числитель и знаменатель этого выражения принимают в точке $x=0$ значение $0$, так что это неопределенность типа $0/0$. Вычислим производные числителя и знаменателя в точке $0$: это соответственно $2x$ и $-\sin x$. В точке $x=0$ обе эти функции обращаются в ноль, так что опять имеем неопределенность типа $0/0$. Вычисляем следующие производные числителя и знаменателя: $2$ и $-\cos x$ соответственно. В точке $x=0$ они принимают значения $2$ и $-1$, так что имеем: \[ \lim _\frac<\cos x-1>=\lim _\frac<2x><-\sin x>=-2. \]

    publish.sutd.ru

    Правило лопиталя для последовательности

    Общепринятое обозначение предела последовательности:

    Это неравенство можно интерпретировать следующим образом: все

    члены последовательности, начиная с некоторого попадают в ε-окрестность

    точки A. Поскольку число ε может быть сколь угодно малым, это

    гарантирует сходимость последовательности к пределу A.

    5. Предел функции. Предел функции при

    Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :

    (1)

    сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

    (2)

    и можно ставить вопрос о существовании её предела.

    Число A называется пределом функции f(x) в точке (или при ), если для любой сходящейся к последовательности (1) значений аргумента x, отличных от , соответствующая последовательность (2) сходится к числу A.

    Символически это записывается так:

    Предел функции при , при и при

    Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

    Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

    Символически это записывается так: .

    Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

    Символически это записывается так: ().

    6. Свойства пределов функции

    1. Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

    2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

    3. Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

    4. Константу можно выносить за знак предела:

    5. Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

    7. Первый замечательный предел

    Первый замечательный предел:

    Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

    Следствия из первого замечательного предела

    1.

    2.

    3.

    4.

    8. Второй замечательный предел

    Второй замечательный предел:

    здесь е — число Эйлера.

    Следствия из второго замечательного предела:

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    9. Определение производной

    Производной от функции в точке

    называется предел отношения приращения функции к приращению

    аргумента : при , если он существует, то есть:

    10. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

    Производная суммы равна сумме производных:

    Производная разности равна разности производных:

    Производная произведения равна производная первой функции на вторую плюс первая функция, умноженная на производную второй:

    Производная частного равна производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, и разность делится на знаменатель в квадрате:

    11. Производная сложной функции.

    12. Производные основных элементарных функций.

    13. Производные высших порядков.

    Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом .

    Таким образом

    14. Правило Лопиталя.

    Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

    1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

    2) и в этой окрестности;

    3) ;

    4) существует конечный или бесконечный.

    Тогда существует и , причем

    Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности

    типа при.

    15. Исследование функции на монотонность и экстремумы с помощью производной.

    Функция строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

    Если производная функции на некотором промежутке

    то функция возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция убывает на этом промежутке.

    Экстремум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

    Простой алгоритм нахождения экстремумов. — Находим производную функции — Приравниваем эту производную к нулю — Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль) — Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум — Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную. Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

    studfiles.net

    Это интересно:

    • Штраф при езде без доверенности Есть ли административный штраф за езду без доверенности? До первого января 2013 года штраф за езду без доверенности составлял 100 рублей, также предусматривалась транспортировка автомобиля на штрафплощадку. Однако, еще летом прошлого […]
    • Разобрать слова по составу правило Глоссарий. Русский язык и литература Разбор слова по составу — это выделение частей, из которых оно состоит. Основным приемом при разборе слова является подбор его форм (для выделения окончания), одноструктурных слов (для определения […]
    • Закон о пневматическом оружии в россии 2014 Закон о пневматическом оружии Что говорится о пневматическом оружии в Законе? В статье 1 вышеуказанного закона сказано: «пневматическое оружие – это оружие, предназначенное для поражения цели на расстоянии снарядом, получающим […]
    • Налоги литва 2018 Налоги в Литве Осуществляя экономическую деятельность на территории Литвы, любые хозяйствующие субъекты вне зависимости от происхождения их капитала облагаются следующими основными налогами: Выплаты в Фонд социального страхования […]
    • Пенсия в 2018 году башкортостан Пенсионное обеспечение для жителей Уфы и Республики Башкортостан в 2018 году В Республике Башкортостан проживает 1 147 579 пенсионеров. Все они получают доход из бюджета Пенсионного фонда (ПФР). Правительство РФ регулирует доходы […]
    • Что является общественным местом по закону Что является общественным местом по закону? Что именно считается общественным местом по закону? Сразу же следует заметить, что само по себе законодательство в данном вопросе является достаточно шатким. Так как «общественное место» - […]