Правила внесения под корень

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да.

Начнём с самой простой. Вот она:

Напоминаю (из предыдущего урока): а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет.

Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

Как умножать корни?

Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?

Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата — отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно.

Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

Как внести число под корень?

Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка — это корень квадратный из четырёх!

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 — корень из 9. 8 — корень из 64. 11 — корень из 121. Ну, и так далее.

Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала. Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но — не забывайте! — под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие — внесение числа под корень — можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

Как сравнивать корни?

Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)

Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?

Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

Как извлекать корни из больших чисел?

Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число 6561 и всё. Да, произведения здесь нет. Но если нам надо — мы его сделаем! Разложим это число на множители. Имеем право.

Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Что, не знаете!? Признаки делимости забыли!? Зря. Идите в Особый раздел 555, тема «Дроби», там они есть. На 3 и на 9 делится это число. Потому, что сумма цифр (6+5+6+1=18) делится на эти числа. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему (сейчас поймёте, почему), а вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Получим 729. Вот мы и нашли два множителя! Первый — девятка (это мы сами выбрали), а второй — 729 (такой уж получился). Уже можно записать:

Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:

Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и — вперёд!

Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!

Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:

Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?

Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание — «вынести множитель из-под знака корня» а мужики-то и не знают. ) Вот вам ещё одно применение свойства корней. Полезная вещь пятая.

Как вынести множитель из-под корня?

Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:

Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается. Что делать?!

Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:

Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:

Перемножать всё — сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! Опять на множители раскладывать? Не, лишняя работа нам ни к чему. Сразу раскладываем на множители и собираем одинаковые по кучкам:

Вот и всё. Конечно, раскладывать до упора не обязательно. Всё определяется вашими личными способностями. Довели пример до состояния, когда вам всё ясно, значит, можно уже считать. Главное — не ошибаться. Не человек для математики, а математика для человека!)

Применим знания к практике? Начнём с простенького:

www.egesdam.ru

Внесение множителя под знак корня, правила, примеры, решения

Продолжаем разговор про преобразование иррациональных выражений. В этой статье мы остановимся на преобразовании, которое получило название внесение множителя под знак корня. Сначала разберем суть этого преобразования, после чего перейдем к теоретическим основам. Дальше запишем правила внесения множителя под знак корня. А в заключение рассмотрим решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Что называют внесением множителя под знак корня?

Сначала нужно четко представлять, что называют внесением множителя под знак корня. Дадим определение:

Внесением множителя под знак корня называют преобразование, при котором произведение вида , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, заменяется выражением вида или (в зависимости от того, какому из них тождественно равно исходное выражение).

Здесь заметим, что в школе первый разговор про внесение множителя под знак корня начинается после знакомства с квадратным корнем и его свойствами, что обычно происходит на уроках алгебры в 8 классе [1, с. 92-93; 2, с. 72] . При этом приведенное определение стоит рассматривать при n=2 , то есть, для квадратных корней. А позже в старших классах вводятся корни n-ой степени, и разбирается внесение множителя уже под знак корня n-ой степени [3, с. 47] .

Основываясь на приведенном определении, несложно обосновать, почему рассматриваемое преобразование получило название «внесение множителя под знак корня»: в результате его проведения множитель B оказывается под знаком корня.

Из озвученного определения также понятно, что внесение множителя под знак корня проводится не с любыми выражениями, а с выражениями вполне конкретного вида — с произведениями некоторого числа или выражения и корня, под знаком которого находится некоторое число или выражение. Для наглядности приведем примеры таких выражений: , , и т.п. Выражения, получающиеся в результате этого преобразования, тоже имеют вполне определенный вид. Например, только что указанные выражения после внесения множителя под знак корня принимают вид , и соответственно (естественно, дальше эти выражения можно упростить, если есть такая возможность и в этом есть необходимость).

Теперь, когда мы знаем, что такое внесение множителя под знак корня, можно рассмотреть теорию, которая лежит в основе данного преобразования. Кстати, из нее станет ясно, в каких случаях выражение заменяется на , а в каких – на .

Необходимая теория

В статье преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней мы получили ряд результатов, два из которых лежат в основе внесения множителя под знак корня. Приведем их здесь:

Выражение A можно заменить выражением , если n — нечетное. Если же n – четное, то выражение A можно заменить выражением

  • для всех наборов значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения A неотрицательно (давайте условимся вместо последней фразы использовать запись A≥0 ),
  • для всех наборов значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения A отрицательно ( A 2 , 5·x 4 +3·y 2 ·z 2 +7 и т.п.), то внести множитель под знак корня позволяют преобразования такие .

Если показатель корня есть четное число и B есть отрицательное число или выражение, все значения которого, очевидно, неположительные (например, −2·x 2 , −(x 2 +y 2 +1) и т.п.), то внесение множителя под знак корня проводится так .

Наконец, если показатель корня четный и по виду выражения B сразу непонятно, какие значения оно принимает на ОДЗ, то чтобы внести множитель под знак корня, надо

    решить неравенства B≥0 и B 2 +1 , которое мы собираемся внести под знак корня, принимает только положительные значения при любых значениях переменной x (сумма неотрицательного при любом значении переменной x числа x 2 и положительного числа 1 есть положительное число), поэтому

а) , б) , в) .

Внести множитель под знак корня а) , б) .

а) Здесь показатель корня четный, а множитель, подлежащий внесению под знак корня, имеет отрицательное значение. Поэтому нам нужно действовать по третьему правилу из предыдущего пункта:

б) В этом случае показатель корня тоже четный. Несложно заметить, что выражение 2·(−3−y 2 ) может принимать лишь отрицательные значения (произведение положительного числа 2 и отрицательного при любом значении переменной y числа −3−y 2 есть отрицательное число). Поэтому

а) , б) .

Остается разобраться с внесением под знак корня с четным показателем выражений с переменными, которые могут принимать произвольные значения. Обычно при решении задач общего курса алгебры с этим преобразованием сталкиваться не приходится, необходимость его проведения сразу переводит задачу в ранг повышенной сложности.

Внести множитель под знак корня а) , б) .

а) Это выражение мы также приводили в пример в первом пункте этой статьи. Сейчас мы увидим, как был получен приведенный там результат внесения множителя x−2 под знак корня.

В выражении корень имеет четный показатель 4 , а выражение x−2 может принимать различные значения (отрицательные, нуль, положительные). Поэтому, чтобы внести множитель x−2 под знак корня, придется действовать по последнему алгоритму из предыдущего пункта.

ОДЗ переменной x для этого выражения определяется условием 1−x≥0 . Чтобы определить при каких значениях переменной из ОДЗ выражение x−2 принимает неотрицательные значения, а при каких – отрицательные, составляем и решаем две системы неравенств: и . Первая система неравенств не имеет решений. Это означает, что выражение x−2 не принимает неотрицательные значения ни при каких значениях x из ОДЗ. А решением второй системы является множество x≤1 . Это означает, что выражение x−2 принимает отрицательные значение при любом значении переменной x из множества x≤1 (которое в нашем случае совпадает с ОДЗ). Поэтому

б) В выражении показатель корня четный, а про значения выражения сложно сказать что-либо сразу. Поэтому будем выяснить, при каких значениях переменной из ОДЗ указанное выражение принимает неотрицательные значения, а при каких – отрицательные. Для этого составляем две системы неравенств и , и находим их решения (первые неравенства этих систем можно решить методом интервалов, а второе – любым способом решения квадратных неравенств):

Таким образом, при x∈(−∞, −6]∪[4, +∞) выражение принимает неотрицательные значения и

А при x∈(−6, −2]∪[1, 4) выражение принимает отрицательные значения и

При необходимости подкоренное выражение можно преобразовать в рациональную дробь.

а) ,
б) .

Остается сказать, что внесение числа под знак корня часто используется при сравнении значений выражений с корнями.

Также рекомендуем ознакомиться с материалом, который посвящен преобразованию противоположного смысла – вынесению множителя из-под знака корня.

www.cleverstudents.ru

Извлечение корня

Извлечь из данного числа корень какой-нибудь степени значит найти такое число, которое при возведении в эту степень, будет равно данному числу.

Из правил знаков при возведении в степень следует, что:

    Корень нечётной степени из положительного числа есть число положительное, а из отрицательного – отрицательное.

, так как (+3) 3 =27

, так как (-3) 3 =-27

Корень чётной степени из положительного числа может быть как положительным, так и отрицательным числом.

, так как (+3) 2 =+9 и (-3) 2 =+9

, так как (+4) 4 =+256 и (-4) 4 =+256

  • Корень чётной степени из отрицательного числа является невозможным выражением, потому что любое положительное или отрицательное число при возведении в чётную степень даёт только положительный результат. Таким образом – это невозможные выражения. Невозможные выражения иначе называют мнимыми.
  • Извлечение корня из произведения, степени и дроби

    Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого множителя отдельно.

    Так же можно сказать, что корень произведения равен произведению корней всех его множителей:

    Чтобы извлечь корень из степени, следует показатель степени разделить на показатель корня:

    Чтобы извлечь корень из дроби, следует извлечь его отдельно из числителя и из знаменателя:

    Вынесение множителя из под знака корня

    Когда нельзя извлечь корень из всего подкоренного числа или выражения, то подкоренное число или выражение раскладывают на множители и извлекают корень только из тех множителей, из которых это возможно сделать.

    Внесение множителя под корень

    Если нужно внести множитель под знак корня, то его следует возвести в степень, равную показателю корня.

    naobumium.info

    Урок алгебры в 8-м классе по теме «Внесение множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня»

    Разделы: Математика

    Цели урока:

    1. Выработать алгоритм внесение множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня, повторить определение квадратного корня и арифметического квадратного корня.

    2. Способствовать развитию вычислительных навыков; умению ставить самооценку и взаимооценку, развитию наблюдательности.

    3. Побуждать учащихся к учебному сотрудничеству на уроке посредством работы в парах и группах, к самостоятельности и требовательности в достижении успехов.

    Учащиеся должны знать:

    — алгоритмы внесения множителя под знак корня;

    — алгоритм вынесения множителя из-под знака корня;

    — применение свойств квадратного корня к преобразованию выражений, содержащих квадратный корень.

    Учащиеся должны уметь:

    — вносить и выносить множитель из-под знака корня;

    — преобразовывать простые выражения, содержащие квадратные корни, на основе изученного материала.

    — пользоваться изученными алгоритмами в стандартной и измененной ситуациях;

    — применять знания при преобразовании выражений в более сложных ситуациях.

    — применять полученные знания при выполнении заданий в измененной ситуации.

    Ход урока

    Работа учащихся состоит из пяти этапов.

    Результаты каждого этапа ученики заносят в индивидуальные оценочные листы:

    Лист само и взаимооценки

    1, 2 и 3 задания (1 балл за все правильные ответы, минус 0,1 за каждый неправильный)

    4. (2 балла) 5. (3 балла)

    1. (по 1 б. за каждое правильное вычисление)

    2. (1 балл за все правильные ответы, минус0,1 за каждый неправильный)

    1 этап

    Вопросы учителя: Дайте определение квадратного корня из числа. Дайте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях а, выражение а имеет смысл? Сформулируйте правило извлечения корня квадратного из четной степени.

    Диктант (учитель диктует задания, учащиеся письменно записывают ответы, двое работают на закрытых досках под контролем учителя):

    1. Найдите квадратные корни из числа: 16 /25; 64; 0; — 1 /25; 49.

    2. Найдите арифметический квадратный корень из числа: 16 /25; 64; 0; — 1 /25; 49.

    3. Сравните: и ; 7 и 50; 3 5 и 5 5; 20 и 2 20.

    4. При каких значениях а выполняется равенство (а) 2 = а?

    5. При каких значениях х верно х 2 = (х ) 2 ?

    Взаимопроверка, ответы на закрытой доске. Выяснение трудных заданий. Взаимооценка.

    2 этап

    Учащимся раздаются карточки с заданиями, работают самостоятельно, двое на закрытой доске.

    1) Вычисли: а) 900; б) 10• 40; в)2 8 ; г) 121а 4 .

    2) Представь так, чтобы один из множителей или каждый был во второй степени: 2 3 ; х 7 ; 81в 2 .

    1) Вычисли: а)8100; б) 45 •20; в) 3 6 ; г) 144в 6 .

    2) Представь так, чтобы один из множителей или каждый был во второй степени: 3 5 ; у 9 ; 36х 2 .

    Самопроверка и самооценка, работающие у доски отвечают на возникшие у класса, вопросы и объясняют свои решения.

    3 этап

    1. Изучение нового материала.

    Учитель ставит перед учениками проблему: как сравнить выражения 20 и 3 5?

    В парах идет обсуждение различных вариантов решения проблемы. Затем выслушиваем все возникшие варианты и формулируем алгоритм внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня. Учащиеся делают записи в тетрадях:

    20 = = 2 5, тогда 2 5 20 .

    Далее идет совместная работа учителя и учащихся по рассмотрению различных случаев.

    1) примеры вынесения буквенного множителя из – под знака корня в выражениях: 12; 200; 0,2 75; — 1 /3 450; в 9 ; 48х 2 , где х 0.

    2) примеры внесение множителя под знак корня в выражениях: 5 3; 6 х /6; — 1 /32у; а3.

    В последнем выражении рассматривается два случая: а 0 и а 0.

    3) примеры преобразования выражений: 48 + 75 — 108.

    4 этап.

    Цель: проверка уровня обучаемости (как только первые три, четыре человека сделают, то все сразу должны сдать). Выполняется под капирку или ответы записываются на отдельном листе. Ключ к оценке: 1 уровень, если правильно выполнены или близки к выполнению 1 и 2 задания. 2 уровень, если правильно выполнены или близки к выполнению 1, 2 и 3 задания. 3 уровень, если выполнены или близки к выполнению все задания.

    1) Внеси множитель под знак корня: а) 5 7; б) — 3 а.

    2) Вынеси множитель из-под знака корня: а) 700 б) 1 /3 45; в) 7а 2 , а 0.

    3) Представь в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного: а) – а 0,3.

    4) Расположи в порядке возрастания: 30; 3 3; 2 5; 5 2.

    5) Упрости выражение: 22 + 50 — 98.

    1) Внеси множитель под знак корня: а) 6 10; б) — 5 х.

    2) Вынеси множитель из-под знака корня: а) 300 б) 1 /2 24; в) 10у 2 , у 0.

    3) Представь в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного: а) — а 0,2.

    4) Расположи в порядке возрастания: 29; 3 3; 2 6; 4 2.

    5) Упрости выражение: 103 — 448 — 75.

    После выполнения заданий происходит самооценка, ученики по карточкам проверяют ответы и решения, результаты заносят в лист самооценки.

    Коррекция знаний, после выяснения трудных мест. Учитель объясняет материал с учетом зоны ближайшего развития ученика.

    Отработка материала, работа в группах разного уровня по принципу “вертушка” (каждое последующее задание выполняется следующим учеником, начинать может либо слабый либо сильный ученик). Любое задание объясняется вслух учеником и контролируется группой. Работай по принципу: “Мы в одной лодке: или выплываем вместе, или утонем вместе”.

    1. Вынесите множитель из-под знака корня:

    а) 48; б) 150; в) 2 /3 27; г) – 1 /399; д)3х 6 , где х 0.

    2. Внесите множитель под знак корня: а) 73; б) — 42; в)23у;

    3. Сравните: 1 /2 12 и 1 /3 45. 4. Упростите выражение: 6 3 + 27.

    5 этап.

    1 уровень

    2 уровень

    а) 98 = 49 •2 = 49 • 2 = …;

    б) 700 = 100 •7 = …;

    в) 125 = …;

    г) — 398 = … (4 балла)

    2. Закончите внесение множителя под знак корня

    а)7 3 = 49 •3 =…;

    б) – 4 2 = — 16 • 2 =. . . ;

    в) 3а = …;

    г) 6 1 /3 = … (4 балла)

    3. Вынесите множитель и упростите выражение: 63 +27 – 3 75. (3 балла)

    4. Сравните:0,5 12 и 1 /327. (3 балла)

    а) 90;

    б) 150;

    в) — 2 /7 4900;

    г)7а 2 , а 0. (4 балла)

    2. Внесите множитель под знак корня:

    а)12а;

    б)вв 3 ;

    в) –а 2а;

    г) 0,1сс 5 .

    3. Упростите выражение:

    2 /7 98 – 1 /3 18 – 128. (4 балла)

    4. Расположите в порядке возрастания:

    — 2 2; — 0,5 6; 3 10; 1 /2 24; 0,5 72.

    Рекомендации по оценке результатов урока:

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Это интересно:

    • Кнопка возврата на сайте Веб-дизайн и поисковая оптимизация Вебдизайн с jQuery - это очень просто! • Фотогалерея jQuery - просто и красиво! • Фотогалерея jQuery со слайд-шоу • Фотогалерея для интернет магазина • Фотогалерея prettyPhoto • Фотогалерея […]
    • Правила в детском отделении Государственное учреждение здравоохранения "Консультативно-диагностический центр для детей № 1" Волгоград, 400079 ул.им.Кирова, 149б _ Регистратура: _ (8442) 42-14-14 (8442) 42-00-45 Волгоград, 400021, ул.им.Воронкова,78а _ […]
    • Опека в гусь-хрустальном Опека в гусь-хрустальном «Молодость – удивительная пора! Это время быть активными и стремиться к высоко поставленным целям» Гусь-Хрустальный район – территория динамичного развития Новости от 14.07.2018 Ваш браузер не поддерживает […]
    • Правило чередование о ё после шипящих wiki.eduVdom.com Инструменты пользователя Инструменты сайта Боковая панель Русский язык – орфография: Контакты Буквы о — ё — е в корнях слов после шипящих После шипящих в корнях слов под ударением вместо о пишется ё(е), если при […]
    • Возврат услуги в течение 14 дней Можно ли вернуть бытовую технику в магазин в течение 14 дней? Иногда, приобретя технологическую продукцию для повседневного использования в своем доме или в подарок, покупатель решает вернуть изделие обратно в магазин. Обычно товар […]
    • Проводки по штрафам пфр Как отразить в бухучете и при налогообложении штрафы за налоговые правонарушения и пени по недоимке Вопрос-ответ по теме Как отразить в бух. учете и при налогообложении пени/штрафы ПФР, ФСС, налоговых органов (проводки) В бухучете […]