Трапеция и ее свойства

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер и ), и более интересные.

. Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины .

. Основания трапеции равны и , боковая сторона, равная , образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы и — односторонние, значит, их сумма равна , и тогда угол равен . Из треугольника найдем высоту . Катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы. Получаем, что и площадь трапеции равна .

. Основания трапеции равны и . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, и , в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника находим: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

. Основания трапеции равны и . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем — среднюю линию трапеции, . Легко доказать, что отрезок , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки и , являющиеся средними линиями треугольников и , а затем отрезок . Он равен .

. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного , отсекает треугольник, периметр которого равен . Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .

Периметр трапеции равен .

На сколько периметр трапеции больше периметра треугольника? Чему равен периметр трапеции?

ege-study.ru

Трапеция, Средняя линия трапеции, треугольник

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны

Основная задача: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5
Мы соединяем A5 с B и проводим такие прямые через A4, A3, A2 и A1, которые параллельны A5B. Они пересекают AB соответственно в точках B4, B3, B2 и B1. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB3A3A5 мы видим, что BB4 = B4B3. Таким же образом, из трапеции B4B2A2A4 получаем B4B3 = B3B2

В то время как из трапеции B3B1A1A3, B3B2 = B2B1.
Тогда из B2AA2 следует, что B2B1 = B1A. В заключении получаем :
AB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

www.math10.com

Все формулы средней линии трапеции

Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются — верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции — отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.

1. Формула средней линии трапеции через основания

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m — средняя линия

Формула средней линии, ( m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции, ( m ):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

α , β — углы между диагоналями

d 1 , d 2 — диагонали трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

Формулы средней линии трапеции , ( m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S — площадь трапеции

h — высота трапеции

m — средняя линия

www-formula.ru

Правила средняя линия трапеции

Проведем диагональ АС трапеции ABCD (рис. 247) и построим средние линии PL и РМ треугольников ABC и ACD, на которые эта диагональ разбивает трапецию. Эти средние линии будут лежать на одной прямой. Действительно, обе они, по определению средней линии треугольника, проходят через середину стороны АС, общей для треугольников ABC и ACD.

Кроме того, каждая из средних линий PL и РМ параллельна одному из оснований трапеции, а значит, обоим основаниям одновременно. Так как через точку Р проходит единственная прямая, параллельная основаниям, то обе средние линии лежат на ней. Они продолжают друг друга и образуют отрезок LM, соединяющий середины боковых сторон трапеции; такой отрезок называется средней линией трапеции и параллелен ее основаниям.

Свойство средней линии трапеции;

Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований.

Доказательство. По свойству средней линии треугольника (рис. 247) имеем

что и требовалось доказать.

Задача. Большее основание трапеции равно а, меньшее равно b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Решение. Искомый отрезок PQ (рис. 247) лежит на средней линии трапеции (объясните, почему). Находим

откуда .

edu.sernam.ru

Средняя линия трапеции

Что такое средняя линия трапеции? Какими свойствами она обладает?

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

ABCD — трапеция,

MN — средняя линия трапеции ABCD.

Свойства средней линии трапеции

1) Средняя линия трапеции параллельна основаниям.

2) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

В трапеции ABCD (AD ∥ BC)

Основания трапеции относятся как 4:7, а средняя линия равна 55 см. Найти основания трапеции.

Дано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC, MN- средняя линия трапеции,

Пусть k — коэффициент пропорциональности.

Тогда BC=4k см, AD=7k см.

По свойству средней линии трапеции,

Отсюда BC=4∙10=40 см, AD=7∙10=70 см.

Ответ: 40 см, 70 см.

Средняя линия трапеции равна 15 см, а одно из оснований на 6 см больше другого. Найти основания трапеции.

Дано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC, MN- средняя линия трапеции,

MN=15 см, AD на 6 см больше BC.

Пусть BC=x см, тогда AD=(x+6) см.

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований,

www.treugolniki.ru

Это интересно:

  • Аварии на морских и речных судах в россии Аварии на морских и речных судах в россии Безопасность человека на воде всегда была актуальной проблемой, но, несмотря на стремление специалистов повысить безопасность судоходства, число морских и речных катастроф не уменьшается. […]
  • Как удалить с реестра оперу Удаляем браузер Опера Ежедневно выходят новые обновления программ. Далеко не все они отличаются стабильной и качественной работой без сбоев и вылетов. В связи с этим пользователи устанавливают одни браузеры и удаляют другие, […]
  • Водительские удостоверения иностранных граждан в рф Водительское удостоверение иностранного гражданина в России: действие, использование, обмен Главный документ любого водителя — это права. В России водительское удостоверение (ВУ) — это документ установленного образца в виде […]
  • Что за доплата к пенсии была в августе Прибавка к пенсии в августе: постоянная или разовая Сегодня, когда курс рубля падает все больше, а цены на продукты в России, к сожалению, не склонны уменьшаться, любая помощь от государства может стать заметным подспорьем для того, […]
  • Молодые несовершеннолетние Психологические проблемы несовершеннолетних родителей На сегодняшний день, психологические проблемы несовершеннолетних родителей, развиваются все сильнее. По статистике молодые несовершеннолетние родители отказываются от ребенка в […]
  • Как зарегистрировать заявление в прокуратуру Как зарегистрировать заявление в прокуратуру ГЕНЕРАЛЬНАЯ ПРОКУРАТУРА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПРИКАЗ от 27 декабря 2007 г. N 212 О ПОРЯДКЕ УЧЕТА И РАССМОТРЕНИЯ В ОРГАНАХ ПРОКУРАТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СООБЩЕНИЙ О […]