Оглавление:

Упрощение выражений

Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать выражения.

В этом выражении есть числа, при сложении которых получаются «круглые» числа. Заметив это, легко провести вычисления устно. Воспользуемся переместительным законом сложения.

Также для упрощения вычисления произведений можно использовать переместительный закон умножения.

Сочетательные и переместительные свойства используются и при упрощении буквенных выражений.

  • 6 · a · 2 = 6 · 2 · a = 12a
  • 2 · a · 4 · b = 2 · 4 · a · b = 8ab
  • 5b + 8b = (5 + 8) · b = 13b
  • 14y − 12y = (14 − 12) · y = 2y

Распределительный закон умножения часто применяется для упрощения вычислений.

Применяя распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания к выражению « (a + b) · с и (a − b) · c », мы получаем выражение, не содержащее скобки.

В этом случае говорят, что мы раскрыли (опустили) скобки. Для применения свойств не имеет значения, где записан множитель « c » — перед скобками или после.

Раскроем скобки в выражениях.

  • 2(t + 8) = 2t + 16
  • (3x − 5)4 = 4 · 3x − 4 · 5 = 12x − 20

Если перед буквой не записано число, то подразумевается, что перед буквой стоит числовой множитель 1 .

  • t + 4t = (1 + 4)t = 5t

Вынесение общего множителя за скобки

Поменяем местами правую и левую часть равенства:

В таких случаях говорят, что из « ac + bc » вынесен общий множитель « с » за скобки.

Примеры вынесения общего множителя за скобки.

  • 73 · 8 + 7 · 8 = (73 + 7) · 8 = 80 · 8 = 640
  • 7x − x − 6 = (7 − 1)x − 6 = 6x − 6 = 6(x − 1)

math-prosto.ru

МИР ЛОГИКИ

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Закон

Формулировка

1. Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе.

2. Закон исключенного третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Следовательно, результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина».

3. Закон непротиворечия

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.

4. Закон двойного отрицания

Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание.

5. Переместительный (коммутативный) закон

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

6. Сочетательный (ассоциативный) закон

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон

(X /\ Y) \/ Z= (X /\ Z) \/ (Y /\ Z)

(X /\ Y) \/ Z = (X \/ Z) /\ (Y \/ Z)

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

7. Закон общей инверсии Закон де Моргана

Закон общей инверсии.

8. Закон равносильности (идемпотентности)

от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный

mir-logiki.ru

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

Продолжаем изучение темы преобразование алгебраических дробей. В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей. Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая обыкновенные дроби, мы говорили про их сокращение. Сокращением обыкновенной дроби мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен, в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби. Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей, которое состоит из двух шагов:

  • сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
  • если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов, находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби, которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например, и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби раскрадываются на простые множители, после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями. В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Сократите алгебраическую дробь .

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

.

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю, его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Выполните сокращение дроби .

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Сократите рациональную дробь .

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя формулы сокращенного умножения: . Теперь хорошо видно, что можно провести сокращение дроби на общий множитель b 2 ·(a+7) . Сделаем это .

Краткое решение без пояснений обычно записывают в виде цепочки равенств:

.

Иногда общие множители могут быть скрыты числовыми коэффициентами. Поэтому при сокращении рациональных дробей целесообразно числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Сократите дробь , если это возможно.

На первый взгляд числитель и знаменатель не имеют общего множителя. Но все же, попробуем выполнить некоторые преобразования. Во-первых, можно вынести за скобки множитель x в числителе: .

Теперь проглядывается некоторая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 ·y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

После проделанных преобразований виден общий множитель, на который и проводим сокращение. Имеем

.

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей заметим, что успех во многом зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

www.cleverstudents.ru

Урок математики в 5-м классе «Упрощение выражений»

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала.

Цель урока: формировать у учащихся умение упрощать буквенные выражения на основе распределительного свойства умножения, ввести понятия подобных членов, числового множителя; способствовать формированию детского коллектива, воспитывать самостоятельность, развивать у учащихся интерес к предмету, знакомить учащихся с историей развития математики.

Задачи урока
Образовательные: обеспечить в ходе урока умение применять распределительное свойство умножения для упрощения буквенных выражений, ввести понятие подобных членов, числового множителя – коэффициента; формировать умение применять распределительное свойство умножения при решении уравнений; продолжить формирование общих учебных умений и навыков: навыки планирования ответа, навыки самоконтроля.
Воспитательные: воспитывать у учащихся интерес к предмету, умение работать в парах, умение слушать товарища, отстаивать свою точку зрения, самостоятельность, навыки самоконтроля.
Развивающие: развивать восприятие, логическое и математическое мышление, умение связывать изученный материал с новым, анализировать, выделять главное; знакомить учащихся с историей развития математики.

Метод обучения: беседа, самостоятельная работа

Оборудование: иллюстрация, плакат с готовым решением 1 и 2 задания IV этапа, плакат с заданием 2 VI этапа, портрет Франсуа Виета, тесты.

Ход урока

I этап. Организация начала урока.
Цель этапа: подготовка к работе на уроке.
Содержание деятельности: приветствие, определение отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий, доски, мела и т.д.
Раскрытие общей цели урока.
II этап. Актуализация знаний учащихся
Цель этапа: подготовить учащихся к изучению нового материала

Содержание деятельности
1) Вычислите:

2) Вычислите, применяя законы арифметических действий:
а) 372 + 2444 + 1628;
б) 156 + 1037 + 2063 + 844;
в) 125 . 53 . 8;
г) 52 . 138 + 48 . 138;
д) 67 . 149 + 149 . 33;
е) 150 . 97 – 57 . 150.

3) Решите уравнение: а) х – 2041 = 3059; б) 289 + у = 301; в) z . 93 = 186; г) 100 : a = 25.
4) Сформулируйте распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания.

III этап. Изучение нового материала
Цель этапа: объяснить понятие «упрощение выражения», ввести понятие подобных членов, числового множителя.
Содержание деятельности
1) Задача.
На столе стоят три вазы с гвоздиками. В первой вазе х гвоздик, во второй – в 2 раза больше, а в третьей – в 3 раза больше, чем в первой. Сколько гвоздик во второй и третьей вазах?
1 ваза – х;
2 ваза – 2 . х
3 ваза – 3 . х
Всего во второй и третьей вазах — 2 . х + 3 . х
Преобразуем выражение, применяя распределительное свойство умножения
2 . х + 3 . х = х . ( 2 + 3) = х . 5 = 5х
Итак, распределительное свойство умножения позволяет упрощать буквенные выражения
3а + 7а = а(3 + 7) = 10а
27у – 12у = у(27 – 12) = 15у
49х + х = х(49 + 1) = 50х
63b – b = b(63 – 1) = 62b
Таким образом, данные выражения мы записали в более простом виде, или, как говорят математики, упростили. Такие преобразования, в результате которых получаются более простые выражения называют упрощением выражений.
2) Рассмотрим выражение 3у. Это произведение числа 3 и буквы у. Говорят, что число 3 – числовой множитель, а буква у – буквенный множитель. Числовой множитель обычно в таких выражениях называют коэффициентом.
Упрощая выражения, мы складывали коэффициенты, а буквенный множитель мы оставляли без изменения. Обычно промежуточные записи не делают, а просто пишут 8у – 3у = 5у; 17х + х = 18х.
3) Мы рассмотрели буквенные выражения, у которых одинаковая буквенная часть. Такие выражения называют подобными.
А выражение 27х + 7у упростить нельзя, потому что у них буквенная часть разная.
4) Отметим, что распределительный закон умножения верен не только для двух, а для любого числа слагаемых.
Далее учащимся предлагается Рисунок,

на которой множитель за скобкой сравнивается с предупредительным официантом, который обслуживает всех клиентов в ограниченном скобками зале.
5) Примеры.
Упростить выражение:
а) 2(а + 6) + 3(а + 2) = 2а + 12 + 3а + 6 = 5а + 18
б) 3(а + 2b + 4) + 7(2a + 4b +1) = 3a + 6b + 12 + 14a + 28b + 7 = 17a + 34b + 19

IV этап. Первичная проверка понимания новых знаний и способов деятельности.
Цель этапа: установление обратной связи между учителем и учениками по вопросам содержания нового учебного материала.

Содержание деятельности
1. Упростите следующие выражения. Назовите в полученных выражениях числовой и буквенный множитель. Как называются эти слагаемые?
27х + 29х
12у + 78у
103а – 87а
12b – b
13z + 2z + z – 5z

2. Упростите выражения
2а + 1 + а + 11
7b – 5b + 13 + 2b + 10
13у – у + х + 2х

3. Какое свойство мы использовали при упрощении данных выражений? Почему нельзя упростить выражение 17у – 13а? 2у + 1?

V этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

Цель этапа: сформировать у учащихся на основе знаний умение упрощать выражения по «образцу»
Содержание деятельности
1. Упростить выражение:
а) 23а + 37а; д) 27р – 27р; и) 3а + 17 + 3а + 14;
б) 4у + 26у; е) 84b – 80b; к) к + 35 + 4к + 26.
в) 48х + х; ж) 32q – q;
г) у + 56у; з) 1000к – к;

Учащимся дается время для самостоятельного решения для самостоятельного решения этого задания, а затем по готовым ответам проверяют свое решение.

VI этап. Применение знаний и способов деятельности.
Цель этапа: освоение способов деятельности в изменённых условиях
Содержание деятельности
1. Решите уравнение:
а) 4х + 4х = 424;
б) 10к – к = 702;
в) 3х + 7х + 18 = 178;
г) 6у – 2у + 25 = 65.

2. Далее учащимся предлагается самостоятельно решить уравнения и расшифровать слово:

    1. 15у – 8у = 714;
    2. 9z + z = 900;
    3. 4к + 5к + к = 1260;
    4. 7z + 6z – 13 = 130.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Преобразование выражений. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Базовые операции упрощения:

  • Приведение подобных: чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
  • Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.
  • Сокращение дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
    1) числитель и знаменатель разложить на множители
    2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

    ВАЖНО: сокращать можно только множители!

  • Сложение и вычитание дробей:
    ;
  • Умножение и деление дробей:
    ;

Преобразование выражений

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

«Да куда уж проще» – говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач. Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Поэтому сперва, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы «Дроби, рациональные числа» и «Разложение на множители».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Базовые операции упрощения

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них – это

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел. Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью. Например, в сумме подобные слагаемые – это и .

Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы. Например, буква – это стул. Тогда чему равно выражение ? Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .

А теперь попробуй такое выражение: .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы. Например, – это (как обычно) стул, а – это стол. Тогда:

стула стола стул столов стульев стульев столов

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами. Например, в одночлене коэффициент равен . А в он равен .

Итак, правило приведения подобных:

Примеры:

Ответы:

2. ( и подобны, так как , следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений. После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения. Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное. Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители):

Решения:

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить .

Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить .

«Самые умные» сделают так: .

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: – это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример: .

– это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на , а потом и на :

Можно и сразу поделить на :

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным». То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители). Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Ответы:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и ? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители. Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и – взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен :

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше – по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

– это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь . Первую дробь нужно домножить на , вторую – на :

Кстати, есть одна хитрость:

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из единицу, то ты очень и очень неправ!

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить , чтобы получить ?

Вот на и домножай. А домножай на :

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями». Например, – это элементарный множитель. – тоже. А вот – нет: он раскладывается на множители .

Что скажешь насчет выражения ? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель . Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель – элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки ; во втором – разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну формулу сокращенного умножения – разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А – это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем – это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы – это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь – это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на . При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Первым делом вычисляется степень.

Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Перво-наперво определим порядок действий. Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна. Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью. Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

Напоследок дам тебе два полезных совета:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

Комментарии

Всегда рады! 🙂 Заходите еще, учитесь!

Преобразуйте выражение (1/2)d*sina*(OC*OA) в (d*sina*(OC+OA))/2

откуда двойка взялась в примере? может ошибка ? скриншот здесь https://yadi.sk/i/_Hlb8pdA3RhNc2

Разложение на множители. 3 пример: 4х^2-16xy+16y^2 = (2x-4y)^2 = 2(x-2y)^2 А в примере получилось: 4(x-2y)^2 Что из этого не правильно?

Здравствуйте. Не можем определиться 2а:2а=1 или 2а:2а=а^2. Как правильно и почему?

2а:2а = 1. Это свойства деления: «При делении числа, не равного нулю, на само себя, получаем единицу». Нужно только помнить, что а не должно равняться нулю, так как на нуль делить нельзя.

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

youclever.org

Это интересно:

  • Правила по пожарной безопасности на рабочем месте Инструкция по пожарной безопасности 1. Общие требования пожарной безопасности 2. Требования безопасности перед началом работы 3. Требования безопасности во время работы 4. Требования безопасности по окончании работы 5. Действие […]
  • Закон и закономерность детерминизм и индетерминизм волюнтаризм и фатализм Основы философии (Шпаргалки). Р. н / Д .: 201 2 . — 3 2 с. Эта книга универсальна: учебное пособие, справочник и подсказка в нужный момент. Изложенный в ней материал легко усваивается и быстро запоминается. Книга сэкономит вам […]
  • Пособия в псо Пособия в псо Понятие и классификация пособий по ПСО Понятие и классификация пособий по ПСО Пособия – это денежные выплаты, назначаемые гражданам в установленных законом случаях в целях возмещения им утраченного заработка либо […]
  • Пенсия март 2012 ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ Подписка на новости Письмо для подтверждения подписки отправлено на указанный вами e-mail. 27 февраля 2012 График выплаты пенсий, ЕДВ и других социальных выплат по Санкт-Петербургу за […]
  • Правило интернетов 11 Правила интернетов Правила Интернета да они существуют. rule #34, #ПРАВИЛОИНТЕРНЕТА14 / The Dodger channel Правила интернетов — свод правил, собранный на Форчане ради лулзов и примерно отражающий их мемы и образ мыслей. Существует […]
  • Учебное пособие по сертификации Баталов А. Метрология, стандартизация, сертификация: Учеб. пособие ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Метрология. 3 1.1. Метрологическое обеспечение качества продукции. 3 1.2. Метрологические показатели измерительных средств и методы измерений 8 1.3. […]