Оглавление:

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Задачи на движение

Задачи на движение — один из самых распространенных видов задач алгебры. Простейшие задачи на движение изучаются еще в начальной школе. В 6-7 классах решение задач на движение сводится к линейному уравнению либо системе линейных уравнений. Здесь мы рассмотрим задачи на движение, которые можно решить с помощью дробного рационального уравнения. При решении задач на движение используем формулу пути:

где s — путь, v — скорость, t — время. Как правило, в задачах на движение в 8 классе нужно выразить время через путь и скорость:

Чаще всего путь измеряется в километрах, скорость — в километрах в час, время — в часах. Время, заданное в минутах, нужно перевести в часы. Так как в 1 часе 60 минут, то 1 минута — это одна шестидесятая часа, а t минут — t шестидесятых часа:

1 (мин)=1/60(часа). t (мин)=t/60 (часа).

1) Из пункта А в пункт В автомобиль ехал по шоссе протяженностью 210 километров, а возвращался назад по грунтовой дороге протяженность. 160 километров, затратив на обратный путь на 1 час больше, чем на путь из А в В. Найти, с какой скоростью автомобиль двигался по грунтовой дороге, если она на 30 километров в час меньше его скорости по шоссе.

Пусть х км/ч — скорость автомобиля по грунтовой дороге, тогда его скорость по шоссе равна (х+30) км/ч.

Составим и решим уравнение:

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, автомобиль по грунтовой дороге двигался со скоростью 40 км/ч.

2) Первые 20 км пути велосипедист двигался со скоростью, на 5 км/ч большей скорости, с которой он ехал последние 20 км. С какой скоростью велосипедист проехал вторую половину пути, если на весь путь он затратил 3 часа 20 минут?

Пусть II половину пути велосипедист двигался со скоростью х км/ч, тогда его скорость на I половине пути была (х+5)км/ч.

3 часа 20 минут = 3 20/60 =3 1/3 = 10/3 часа.

Составим и решим уравнение:

Упростим уравнение, разделив почленно обе его части на 10:

Второй корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, II половину пути велосипедист проехал со скоростью 10 км/ч.

www.uznateshe.ru

Правила решения задач на движения

ОБОЙДИ УЖЕ ЭТИ ГРАБЛИ! 🙂

Задачи на движение. Решение, особенности.

Предположим, вы неплохо поняли, как решать задачи по математике. Умеете выкачивать всю спрятанную информацию из задачи и записывать её в виде математических выражений с иксом. Но задачки на движение – не идут… Ну не хватает информации, и всё тут! Почему? А вот почему!

В задачах на движение — вы не поверите — всегда что-то движется.) Плывут катера, едут автобусы, куда-то идут туристы. В описании любого движения всегда фигурируют три ключевых величины. Это расстояние (путь), время, скорость.

Для успешного решения задач на движение нужно твёрдо держать в голове формулу-ключ, в которой связаны путь, время и скорость. В любой задаче дают кучу информации, но эту формулу – никогда! Это должно быть ваше знание, в голове! Кстати, эта формула нужна и в компетентностных задачах, и в обыденной жизни. Знание формулы-ключа и есть главная особенность задач на движение. Без неё — никак.

Чтобы эту формулу-ключ хорошо и осмысленно запомнить, достаточно ответить самому себе на простой вопрос: «Если я еду со скоростью 60 километров в час, какое расстояние я проеду за 2 часа?». Очевидно, умножив 60 на 2, получим 120 километров. Вот вы и запомнили нехитрую формулу скорости, пути, времени:

S — это пройденный путь, или расстояние,
V – скорость движения,
t – время движения.

Всё. Это вся посторонняя информация (из физики), которая необходима для решения задач на движение. Всё остальное – в тексте задачи.

Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко вывести из неё формулу для скорости, или времени. Ведь эта формула – тоже уравнение. Стало быть, к ней применимы тождественные преобразования. Если нас интересует не путь, а скорость – поделим обе части формулы на t, получим:

Если интересует время, делим на V:

Запомнили? Если считать задачу замком, то эти формулы – ключи, который должен быть всегда при вас. Ибо без ключа замок открывать неудобно…

Что нам даёт этот ключ? Он нам даёт дополнительную информацию! Которой, как раз, и не хватает. Скажем, в задаче даны скорость и расстояние. А нам позарез нужно время. Так найти время из формулы-ключа за 6 секунд можно! То есть, можно считать, что время тоже дано. Если формулу-ключ помните. И вообще, если даны любые две величины из формулы, можно считать, что и третья величина известна. Вот и всё.

Как составить уравнение задачи на движение? Это и есть самое интересное. Более солидно составление уравнения называется построением математической модели. Рекомендую прочитать про математическую модель в предыдущем уроке. Это поможет в решении самых разных задач. А здесь мы разберём конкретный пример классической задачи на движение.

«В 10:00 туристы на лодке поплыли из пункта А вниз по течению реки. Проплыв 12 километров, туристы остановились для отдыха на 3 часа. Затем они вернулись в пункт А в 18:00. Определить (в км/час) собственную скорость лодки, если скорость течения реки 1 км/час».

Будем разбирать (и решать!) задачу по шагам.

Осмысливаем задачу. Это, понятно, задача на движение. Выясняем, всё ли нам понятно в тексте. Сомнения может вызвать выражение «собственная скорость лодки». Что это такое? После десяти секунд глубоких размышлений соображаем, что по течению лодка плывёт быстро, а против течения – медленно. Ну, если грести одинаково, естественно… Значит, всё честно. Собственная скорость – это скорость лодки сама по себе. Безо всяких течений. Иногда так и пишут: найти скорость лодки в стоячей воде.

Всё остальное, вроде, понятно и логично.

Нужно что-то взять за икс. Что брать за икс? В простых задачах за икс, чаще всего, можно брать вопрос задачи. Вот чего надо узнать в задаче, вот это и будет иксом! Но это не обязаловка. Иногда вопрос задачи просто неудобно брать за икс. Например, в этой задачке вопрос мог быть поставлен так: «На сколько скорость лодки больше скорости течения реки?». Брать этот вопрос за икс неудобно, куда проще найти скорость лодки, а потом отнять от неё скорость реки. То есть, появится одно дополнительное действие, которое потом надо не забыть сделать!

Но! Если вы не знаете, что брать за икс, берите вопрос задачи! Работайте с этим неизвестным, а если ничего не выходит, уж тогда попробуйте взять что-нибудь другое. С практикой придёт понимание. И вопрос, что брать за икс, будет вам казаться смешным…

Итак, аккуратно записываем:

х – собственная скорость лодки.

Расписываем текст задачи в математическом виде. Это и есть составление математической модели! Вот просто читаем задачу, и всё, что можем, всю информацию из задачи записываем формулами с описанием. По порядку, вразброс, как угодно! Начиная с информации, в которой уверены железно. Что-то может и не пригодится для решения, ну и что? Не похудеем, поди… При этом икс считаем вполне известной величиной.

Прочитайте ещё раз текст задачи. Даже толком не разобравшись во всех этих временах и расстояниях, можно железно выцарапать из условия бесспорную математическую информацию:

Если
х – скорость лодки,
то
х+1 – скорость лодки по течению,
а
х-1 – скорость лодки против течения.

Ну вот, начало положено! Возможно, это и не пригодится, но часть информации мы с задачи скачали!

Опять читаем задачу. Да-да! Читаем опять, причём очень внимательно. Из первого предложения записать ничего нельзя. А вот во втором есть зацепка. Это слова: «Пройдя 12 километров, туристы остановились …». Тут надо вспомнить про ключевую формулу скорости! Путь у нас есть, — это 12 км, скорость лодки по течению есть, — это х+1 км, что можно найти? Правильно, время! Если мы знаем путь и скорость, то мы знаем и время. Вспоминая, что t = S/V, можно записать время лодки по течению. Это будет

Так и пишем:
12/(х+1) – время лодки по течению.
Ну и сразу, до кучи, пишем:
12/(х-1) – время лодки против течения.

Ещё кое-что скачали. Процесс идёт!

Ещё раз обращаю ваше внимание на один интересный момент. Возможно, мы даже не знаем, нужно нам это время по течению, против течения… Но мы упорно и въедливо выкачиваем всю возможную информацию из текста задачи!

Снова читаем задачу. Про лодку мы уже всё как бы знаем. С какой скоростью она плыла туда, обратно, сколько времени затратила. Из условий задачи мы пока никак не использовали информацию по временам. Что ж, займёмся временами. Знаем время выхода лодки и время возвращения. Что можно выяснить из этих данных? Верно! Время всего путешествия!

18 – 10 = 8. Общее время 8 часов. Из чего складывается это время? Время на дорогу туда, это у нас 12/(х+1), стоянка, это у нас 3 часа, и время на дорогу обратно, это у нас 12/(х-1). Вот и всё. Всё, потому что осталось просто записать уравнение.

Вот так составилось уравнение. Оно и будет математической моделью задачи. Осталось его решить, и заслуженные баллы – в кармане. Как решать дробные уравнения? Сходите по ссылке – там всё подробно описано.

Дорешайте задачу, чего уж там… У вас должно получиться

В процессе решения задач на движение вы можете столкнуться с неожиданным фактом. Дробное уравнение после преобразований может (как здесь) стать квадратным. И будет иметь два корня! Два правильных (для уравнения) ответа. Какой ответ брать? Тот, который логичен для задачи. Второй корень будет отрицательным. Что никак не стыкуется ни с лодкой, ни с задачей. Мы его просто назовём посторонним и выбросим. Такое бывает сплошь и рядом.

И ещё одни грабли. Ещё одна особенность задач на движение. Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами! Если уж километры – то и все пути, расстояния должны быть в километрах, а не сантиметрах или верстах. Если часы – то везде часы, а не минуты или сутки! Прикиньте, если в этой задаче стоянка будет дана в минутах – 180 минут? Если в уравнение вставить 180 (минут) вместо 3 (часов), всё пойдёт наперекосяк. Надо всё приводить к единым единицам измерений.

И ещё один полезный совет. При решении задач на движение, рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или болтается между пунктами А и В туда и обратно… Рисуем пункты А и В, отмечаем точки встречи, остановок и т.п. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка реально облегчает составление математической модели.

Итак, при решении задач на движение, используйте

1. Записываем формулу-ключ: S = Vt

2. Определяемся с иксом, расписываем через икс все данные. Особое внимание на величины, входящие в формулу-ключ: путь, скорость, время. Эти величины – основа решения задач на движение. Стараемся снять всю возможную информацию с задачи.

3. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым единицам измерения.

4. Записываем уравнение. Если никак не записывается, читаем задачу. Скорее всего, вы использовали не все данные из задачи или не увидели в тексте подсказки. Она, подсказка, всегда есть.

5. Решаем уравнение. При получении двух корней – за ответ берём приличный корень, несусветный и левый – отбрасываем.

Задача на скачивание информации и использование формулы-ключа.

«Коля и Миша договорились встретиться в боулинг-клубе в 19:00. Миша вышел из дома в 18.30 и энергичным шагом со скоростью 6 км/час дошёл до места точно в срок. Коля живёт на один километр дальше от клуба, чем Миша. Поэтому хотел выйти пораньше. Но, как обычно, засиделся «Вконтакте»… Выскочил впопыхах и побежал… Пробежав половину пути до клуба, Коля понял, что опаздывает. Если будет бежать с той же скоростью. Как настоящий друг и джентльмен, он хотел позвонить Мише, предупредить… Но увидел, что забыл телефон дома. Повернулся и побежал домой. С удвоенной скоростью 16 км/час. Прибежал домой ровно в 19:00. Позвонил Мише и сообщил, что будет через 10 минут. Но опять ошибся и прибежал через 30 минут.»

Вопрос к задаче будет вот какой.

Какую информацию можно получить из этого объёмистого текста? Я утверждаю, что из этого условия можно точно выяснить:

1. На каком расстоянии от клуба живёт Коля.
2. С какой скоростью бежал Коля в клуб без телефона.
3. С какой скоростью бежал Коля с телефоном, т.е. во вторую попытку.
4. В какое время Коля выскочил из дома в первый раз.
5. На каком расстоянии от клуба живёт Миша.
6. Сколько всего километров намотал Коля на своём тяжком пути в клуб.
7. В какое время должен был выйти Коля, чтобы не спеша, со скоростью 5 км/час, добраться до клуба.
8. Кто нам так ужасно замутил задачу, Миша или Коля?
9. С кем нужно иметь дело в серьёзных делах?)

Любой из этих вопросов (ну, кроме двух последних…) может быть вопросом задачи.А вы попробуйте ответить на все.

Ответы (в полном беспорядке) через точку с запятой: 3; Коля; 4; с Мишей; 8; 8; 18 часов 12 минут; 18 часов 37 с половиной минут; 8.

Задачка осложнена тем, что скорости даны в км/час, а некоторые времена – в минутах. Это намёк.

А вот вам стандартная задача на движение.

«Путь от станции до места привала турист прошёл за 4 часа, а велосипедист проехал за 2 часа. Скорость велосипедиста на 6 км/час больше скорости туриста. С какой скоростью шёл турист?»

Ответ: 6 км/час. Намёк: что в этой задаче одинаковое? Вот по этой величине можно и приравнивать…

Вот вы и познакомились с решением задач на движение. Теперь надо освоить решение задач на работу и решение задач на проценты. Это будет солидный арсенал для ЕГЭ и ГИА.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

www.egesdam.ru

Задачи на движение. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

1. Основная формула

2. Относительное движение

  • Это сумма скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
  • разность скоростей, если тела движутся в одном направлении.

3. Движение с течением:

  • Если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
  • если движемся против течения, из скорости вычитается скорость течения.

Основы основ

Без чего нельзя решать задачи на движение

Для успешного решения задач на движение нужно все время держать в голове одну простую формулу:

Чтобы легче запомнить эту формулу, подумай, что ты ответишь на такой вопрос:

«Сколько километров я проеду на велосипеде за часа, двигаясь со скоростью км/ч?»

Ты, не задумываясь, ответишь – км. Ну вот. Поздравляю! Эту формулу ты всегда хорошо знал, просто не мог сформулировать.

Из нашей формулы легко выразить все ее составляющие:

Формулу для скорости:

Формулу для времени:

Очень многим запомнить формулу помогает вот такая пирамидка:

Усвоил? А теперь рассмотрим подробный алгоритм решения задачна движение. Он состоит из больших этапов.

Разберем немного подробнее некоторые особенности и тонкости, возникающие при решении задач на движение.

Немного о внимательности в прочтении задач

Прочитай задачу несколько раз. Осознай ее настолько, чтобы тебе было понятно абсолютно все.

Например, часто возникают трудности с понятием «собственная скорость лодки/катера и т.д. Подумай, что это может значить? Правильно, скорость лодки в стоячей воде, например, в пруду, когда на нее не влияет скорость течения. Кстати, в задачах иногда пишут «найти скорость лодки в стоячей воде». Теперь ты знаешь, что собственная скорость лодки и скорость лодки в стоячей воде – одно и тоже, так что не теряйся, если встретишь оба этих определения.

Особенности живописи при задачах на движение – кто куда едет, кто к кому приехал, и где они все встретились)

Сделай рисунок, попутно записывая на нем все известные величины (ну либо под ним, если не знаешь, как их отобразить схематически). Рисунок должен четко отражать весь смысл задачи. Чертеж следует сделать таким образом, чтобы на нем была видна динамика движения – направления движения, встречи, развороты, повороты. Качественный чертеж позволяет понять задачу, не заглядывая в ее текст. Он – твоя основная подсказка для дальнейшего составления уравнения.

Рассмотрим возможные виды движения двух тел:

Движение навстречу друг другу.

  • Если тела движутся навстречу друг другу, то их скорость сближения равна сумме их скоростей:

Не веришь? Давай посмотрим на практике.

Допустим, из точки и из точки навстречу друг другу выехали две машины. Скорость одной машины – км/ч, а скорость машины – км/ч. Они встретились через часа. Какое расстояние между пунктами и ?

1 вариант решения:

  1. (км) – путь, который проехала первая машина
  2. (км) – путь, который проехала вторая машина
  3. (км) – расстояние, которое проехали обе машины, то есть, расстояние между пунктами и .

2 вариант решения (более рациональный): Оба решения являются верными.

Просто второе более рационально, так что запоминай формулу (она абсолютно логична, правда?), а для усвоения реши следующую задачу:

  1. (км/ч) – скорость сближения машин
  2. (км) – расстояние, которые проехали машины, то есть, расстояние между пунктами и .

Миша и Вася ехали на велосипеде навстречу друг к другу. Скорость Миши- км/ч, скорость Васи – км/ч. Ребята встретились через часа. Какой совместный путь они проделали?

Решил? У меня получилось, что скорость сближения равна км/ч, а путь равен км. Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае

  • Если первоначальное расстояние между телами равно , то время, через которое они встретятся, вычисляется по формуле:

Исходя из предыдущей формулы, это вполне логично, однако, попробуем проверить на практике. Итак, задача – Из пункта и пункта машины движутся навстречу друг другу со скоростями км/ч и км/ч. Расстояние между пунктами – км. Через сколько времени машины встретятся?

1 вариант решения:

Пусть – время, которое едут машины, тогда путь первой машины – , а путь второй машины – . Их сумма и будет равна расстоянию между пунктами и — .

(ч) – время, через которое встретились машины.

2 вариант решения (более рациональный):

  1. (км/ч) – скорость сближения машин
  2. (ч) – время, которое машины были в пути.

Движение в противоположные стороны.

  • Если тела удаляются друг от друга, то их скорость удаления равна сумме их скоростей:

Попробуй самостоятельно решить задачу и доказать верность данной формулы как в предыдущем случае.

А вот и задача: из Москвы в противоположные стороны выехало машины. Скорость одной машины – км/ч, скорость другой – км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут находиться машины через часа?

Решил? Решая первым способом, у меня получилось, что путь, проделанный первой машиной, равен км, а второй – км. Соответственно, расстояние между машинами – км.

Решая вторым способом.

Решая вторым способом, выходит, что скорость удаления равна \displaystyle 145 км/ч, а путь равен \displaystyle 145 км/ч \displaystyle \cdot 2 ч = \displaystyle 290 км.

Теперь разберемся, как вычисляется время при подобном случае.

  • Время, проведенное телами в пути, при удалении друг от друга равно пройденному расстоянию (то есть, если между телами изначально было некое расстояние , то его следует вычесть из общего расстояния), деленному на сумму скоростей тел:

Как ты видишь, формула, аналогичная выведенной нами при движении тел навстречу друг другу. Считаешь, что такого не может быть? Проверь ее на практике!

Допустим, что две машины двигаются в противоположных направлениях со скоростями и км/ч. При остановке, расстояние между ними составляло км. Сколько времени ехали машины?

Попробуй решить эту задачу теми двумя способам, которые были описаны при движении на встречу.

Решил? Формула подтвердилась? Давай сравнивать ответы: уравнение, получаемое при решении 1 вариантом — ; при решении 2 вариантом — скорость удаления – км/ч, время в пути – часа.

А что если, тела изначально находятся на неком расстоянии друг от друга? Это выглядит примерно так:

Как решать подобные задачи тогда? Очень просто. При решении нам необходимо обязательно учитывать .

  • Если существует какое-либо первоначальное расстояние между телами, то формула пути выглядит следующим образом:

Логично? Вырази из этой формулы время встречи двух тел, а потом сравним что у нас получилось.

Справился? Тогда решим задачу на данную формулу.

Из разных точек города N в стороны, противоположные друг другу, выехало два мотоциклиста. Изначальное расстояние между ними составляло км. Скорость первого мотоциклиста составляла км/ч; скорость второго – км/ч. Через какое время расстояние между ними будет равно км?

Какой ответ ты получил? У меня получилось часа. Давай проверим все обстоятельно. Путь, который мотоциклисты действительно ехали равен км км км. Скорость их удаления друг от друга равна км/ч. Делим км на км/ч и получаем часа – время, которое мотоциклисты провели в дороге.

Движение в одном направлении.

Итак, допустим, наши тела двигаются в одном направлении. Как ты думаешь, сколько случаев может быть для такого условия? Правильно, два.

Почему так получается? Уверена, что после всех примеров ты с легкостью сам разберешься, как вывести данные формулы.

Разобрался? Молодец! Пришло время решить задачу.

Коля едет на работу на машине со скоростью км/ч. Коллега Коли Вова едет со скоростью км/ч. Коля от Вовы живет на расстоянии км. Через сколько времени Вова догонит Колю, если из дома они выехали одновременно?

Посчитал? Сравним ответы – у меня получилось, что Вова догонит Колю через часа или через минут.

Сравним наши решения.

Рисунок выглядит вот таким образом:

Похож на твой? Молодец!

Так как в задаче спрашивается, через сколько ребята встретились, а выехали они одновременно, то время , которое они ехали, будет одинаковым, так же как место встречи (на рисунке оно обозначено точкой ). Составляя уравнения, возьмем время за .

Итак, Вова до места встречи проделал путь . Коля до места встречи проделал путь . Это понятно. Теперь разбираемся с осью передвижения.

Начнем с пути, который проделал Коля. Его путь ( ) на рисунке изображен как отрезок . А из чего состоит путь Вовы ( )? Правильно, из суммы отрезков и , где – изначальное расстояние между ребятами, а равен пути, который проделал Коля.

Исходя из этих выводов, получаем уравнение:

Разобрался? Если нет, просто прочти это уравнение еще раз и посмотри на точки, отмеченные на оси. Рисунок помогает, не правда ли?

Решаем дальше и получаем:

часа или минут минут.

Надеюсь, на этом примере ты понял, насколько важную роль играет грамотно составленный рисунок!

А мы плавно переходим, точнее, уже перешли к следующему пункту нашего алгоритма – приведение всех величин к одинаковой размерности.

Правило трех «Р» — размерность, разумность, расчет.

Размерность.

Далеко не всегда в задачах дается одинаковая размерность для каждого участника движения (как это было в наших легких задачках) Например, можно встретить задачи, где сказано, что тела двигались определенное количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч. Мы не можем просто взять и подставить значения в формулу – ответ получится неверный. Даже по единицам измерения наш ответ «не пройдет» проверку на разумность. Сравни:

Видишь? При грамотном перемножении у нас также сокращаются единицы измерения, и, соответственно, получается разумный и верный результат. А что происходит, если мы не переводим в одну систему измерения? Странная размерность у ответа и % неверный результат.

Итак, напомню тебе на всякий случай значения основных единиц измерения длины и времени.

  • Единицы измерения длины:

дециметр = сантиметров = миллиметров

метр = дециметров = сантиметров = миллиметров

  • Единицы измерения времени:

час = минут = секунд

сутки = часа = минут = секунд

Совет: Переводя единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что минут это четверть циферблата, т.е. часа, минут это треть циферблата, т.е. часа, а минута это часа.

А теперь совсем простенькая задача:

Маша ехала на велосипеде из дома в деревню со скоростью км/ч на протяжении минут. Какое расстояние между машиным домом и деревней?

Посчитал? Правильный ответ – км.

минут – это час, и еще минут от часа (мысленно представил себе циферблат часов, и сказал, что минут – четверть часа), соответственно – мин = ч.

Разумность.

Ты же понимаешь, что скорость машины не может быть км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной, верно? Так вот, разумность, это об этом)

Расчет.

Посмотри, «проходит» ли твое решение на размерность и разумность, и только потом проверяй расчеты. Логично же – если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.

«Любовь к таблицам» или «когда рисунка недостаточно»

Далеко не всегда задачи на движение такие простые, как мы решали раньше. Очень часто, для того, чтобы правильно решить задачу, нужно не просто нарисовать грамотный рисунок, но и составить таблицу со всеми данными нам условиями.

Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на минут позже, чем мотоциклист.

Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать – прямая, пункт , пункт , две стрелочки… В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.

Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу. Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из компонентов: скорость, время и путь. Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах. Правда, мы добавим еще один столбец – имя, про кого мы пишем информацию – мотоциклист и велосипедист. Так же в шапке укажи размерность, в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?

У тебя получилась вот такая таблица?

Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.

Первое, что мы имеем – это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен км. Вносим!

Рассуждаем дальше. Мы знаем, что мотоциклист проезжает на км/ч больше, чем велосипедист, да и в задаче нужно найти скорость велосипедиста… Возьмем скорость велосипедиста за , тогда скорость мотоциклиста будет … Если с такой переменной решение задачи не пойдет – ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!

Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа – время. Как найти время, когда есть путь и скорость? Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.

Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок. Что мы можем на нем отразить? Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.

Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу. Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке? Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени – минут. Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.

минут / минут = часа.

И что дальше, спросишь ты? А дальше числовая магия!

Магия формул: составление и решение уравнений – манипуляции, приводящие к единственно верному ответу

Итак, как ты уже догадался, сейчас мы будем составлять уравнение. Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение? Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!

Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.

Это уравнение – рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Рациональные уравнения».

Приводим слагаемые к общему знаменателю:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Из этого уравнения мы получаем следующее:

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:

Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!

Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за ? Правильно, скорость велосипедиста. Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ – км/ч.

Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.

Два велосипедиста одновременно отправились в -километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Напоминаю: прочитай задачу пару раз – усвой все-все детали. Усвоил? Начинай рисовать рисунок – в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал? Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь какие там графы?). Пока все это пишешь, думай, что взять за ? Выбрал? Записывай в таблицу! Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок – помни о «3Р»!

Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста – км/ч.

-«Какого цвета твоя машина?» — «Она красивая!» Правильные ответы на поставленные вопросы

Продолжим наш разговор. Так какая там скорость у первого велосипедиста? км/ч? Очень надеюсь, что ты сейчас не киваешь утвердительно! Внимательно прочти вопрос: «Какая скорость у первого велосипедиста?» Понял, о чем я? Именно! Полученный – это не всегда ответ на поставленный вопрос! Вдумчиво читай вопросы — возможно, после нахождения тебе нужно будет произвести еще некоторые манипуляции, например, прибавить км/ч, как в нашей задаче.

Еще один момент — часто в задачах все указывается в часах, а ответ просят выразить в минутах, или же все данные даны в км, а ответ просят записать в метрах.

Смотри за размерностью не только в ходе самого решения, но и когда записываешь ответы.

Задачи на движение по кругу

Тела в задачах могут двигаться не обязательно прямо, но и по кругу, например, велосипедисты могут ехать по круговой трассе. Разберем такую задачу.

Из пункта круговой трассы выехал велосипедист. Через минут он еще не вернулся в пункт и из пункта следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:

Пусть скорость велосипедиста будет , а мотоциклиста – . До момента первой встречи велосипедист был в пути минут, а мотоциклист – . При этом они проехали равные расстояния:

Между встречами велосипедист проехал расстояние , а мотоциклист – . Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Полученные уравнения решаем в системе:

Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:

  1. Два мо­то­цик­ли­ста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на км/ч боль­ше скорости дру­го­го?
  2. Из одной точки кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна км, од­н­времен­но в одном на­прав­ле­нии стар­то­ва­ли два мотоциклиста. Ско­рость пер­во­го мотоцикла равна км/ч, и через минут после стар­та он опе­ре­дил вто­рой мотоцикл на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го мотоцикла. Ответ дайте в км/ч.

Ответы:

  1. Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го мо­то­цик­ли­ста, тогда ско­рость вто­ро­го мо­то­цик­ли­ста равна км/ч. Пусть пер­вый раз мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся через часов. Для того, чтобы мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­лись, более быст­рый дол­жен пре­одо­леть из­на­чаль­но раз­де­ля­ю­щее их рас­сто­я­ние, рав­ное по­ло­ви­не длины трас­сы.

    Получаем, что время равно часа = минут.

  2. Пусть ско­рость вто­ро­го мотоцикла равна км/ч. За часа пер­вый мотоцикл про­шел на км боль­ше, чем вто­рой, соответственно, получаем уравнение:

    Скорость второго мотоциклиста равна км/ч.

Задачи на течение

Теперь, когда ты отлично решаешь задачи «на суше», перейдем в воду, и рассмотрим страаашные задачи, связанные с течением.

Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, – это стоячая вода. Скорость течения в озере равна . Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь – налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести. Это понятно? Логично же.

А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл. Это происходит потому что у реки есть скорость течения, которая относит твой плот по направлению течения. Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) – он движется со скоростью течения.

Разобрался? Тогда ответь вот на какой вопрос – «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?

Здесь возможно два случая:

1 случай – ты плывешь по течению, и тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.

2 случай – ты плывешь против течения. Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.

Допустим, тебе надо проплыть км. Когда ты преодолеешь это расстояние быстрее? Когда ты будешь двигаться по течению или против?

Решим задачку и проверим. Добавим к нашему пути данные о скорости течения – км/ч и о собственной скорости плота – км/ч. Какое время ты затратишь, двигаясь по течению и против него?

Конечно, ты без труда справился с этой задачей! По течению – час, а против течения аж часа! В этом и есть вся суть задач на движение с течением.

Несколько усложним задачу. Лодка с моторчиком плыла из пункта в пункт часа, а обратно – часа. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде – км/ч

Обозначим расстояние между пунктами, как , а скорость течения – как .

Все данные из условия занесем в таблицу:

Мы видим, что лодка проделывает один и тот же путь, соответственно:

Что мы брали за ? Скорость течения. Тогда это и будет являться ответом:) Скорость течения равна км/ч.

Байдарка в вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте час минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт в . Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки км/ч.

Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и сделай рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно. Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах, и в минутах. Переведем это в часы:

Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за .

Пусть – собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна , а против течения равна .

Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:

Посчитаем, сколько времени байдарка затратила на свое путешествие:

Все ли часов она плыла? Перечитываем задачу. Нет, не все. У нее был отдых час минут, соответственно, из часов мы вычитаем время отдыха, которое, мы уже перевели в часы:

ч байдарка действительно плыла.

Догадываешься, что мы делаем дальше? Правильно! Приравниваем полученное время к тому времени, которое мы выразили в таблице через путь и скорость. Получаем:

Приведем все слагаемые к общему знаменателю :

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Далее решаем получившееся квадратное уравнение. С этим, я думаю, ты тоже справишься самостоятельно. Какой ответ у тебя получился? У меня км/ч.

Подведем итоги

  1. Основная формула:
  2. Алгоритм решения задач на движение подразумевает выполнение двух больших этапов:
  3. В задачах на движение обязательно необходимо рисовать чертеж. Тела могут двигаться навстречу друг другу, в противоположные стороны и догонять друг друга.
  4. Все цифры нужно привести в единой размерности – только км или только м; только часы или минуты, и т.д.
  5. Решая задачи, удобно записывать данные в виде таблицы с обязательными графами – путь, скорость и время.
  6. За можно брать как то, что нужно найти в задаче, так и другое неизвестное.
  7. Внимательно читай, что спрашивается в задаче! – не всегда ответ. Кроме этого, в ответе могут попросить указать величину в другой единице измерения (не в той, которая вышла у тебя, решая уравнение).
  8. Задачи на движение по течению решаются в две формулы:

Мы помогли тебе разобраться с задачами на движение. Теперь твой ход.

Если ты внимательно прочитал текст и прорешал самостоятельно все примеры, готовы спорить, что ты все понял.

И это уже половина пути.

Но это еще не все.

Хочешь на экзамене шелкать задачи на движение как семечки, не делать ошибок и даже сэкономить время (которого на экзамене будет очень мало)?

Тебе нужна практика.

Одного понимания НЕ ДОСТАТОЧНО.

Более того, тебе нужна практика решения СЛОЖНЫХ задач.

Ты знаешь почему Дмитрий Аленичев, самый титулованный футболист России, жонглировал подолгу тенисным мячом?

Он шлифовал технику в более тяжелых условиях (тенисным мячом, который меньше), чтобы потом чувствовать настоящий мяч более остро.

Тебе тоже нужно решить как можно больше простых и СЛОЖНЫХ задач на движение, чтобы потом на экзамене ты был круче всех.

Задачи можно найти в интернете, или спросить у учителя. Или возьми наши задачи. С ответами с решениями. В одном месте.

Там есть 6 задач начального уровня, 45 задач среднего уровня и одна — олимпиадного.

Удачи на экзаменах!

Твоя команда YouClever!

Все задачи на движение решаются с помощью одной простой формулы:

Теперь будем вспоминать, как ее применять. Рассмотрим примеры с решениями для каждого типа задач.

Задачи на движение. Примеры

Движение с течением

Одни из самых простых задач – задачи на движение по реке. Вся их суть в следующем:

  • если движемся по течению, к нашей скорости прибавляется скорость течения;
  • если движемся против течения, из нашей скорости вычитается скорость течения.

Пример:

Катер плыл из пункта A в пункт B часов а обратно – часа. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде км/ч.

Решение:

Обозначим расстояние между пунктами, как AB, а скорость течения – как .

Все данные из условия занесем в таблицу:

Для каждой строки этой таблицы нужно записать формулу:

На самом деле, можно не писать уравнения для каждой из строк таблицы. Мы ведь видим, что расстояние, пройденное катером туда и обратно одинаково. Значит, расстояние мы можем приравнять. Для этого используем сразу формулу для расстояния:

Часто приходится использовать и формулу для времени:

Пример:

Против течения лодка проплывает расстояние в км на час дольше, чем по течению. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна км/ч.

Решение:

Попробуем сразу составить уравнение. Время против течения на час больше, чем время по течению. Это записывается так:

Теперь вместо каждого времени подставим формулу:

Получили обычное рациональное уравнение, решим его:

Очевидно, что скорость не может быть отрицательным числом, значит, ответ: км/ч.

Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

  • сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;
  • разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

Пример:

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями км/ч и км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами км?

Решение:

I способ.

Относительная скорость автомобилей км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

II способ.

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его . Тогда первый автомобиль проехал путь , а второй – .

В сумме они проехали все км. Значит,

Другие задачи на движение

Пример:

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль. Одновременно с ним выехал другой автомобиль, который ровно половину пути ехал со скоростью на км/ч меньшей, чем первый, а вторую половину пути он проехал со скоростью км/ч. В результате автомобили прибыли в пункт В одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше км/ч.

Решение:

Слева от знака равно запишем время первого автомобиля, а справа – второго:

Упростим выражение в правой части:

Поделим каждое слагаемое на АВ:

Получилось обычное рациональное уравнение. Решив его, получим два корня:

Из них только один больше .

Если тебе непонятно, как получились эти корни, прочитай тему «Рациональные уравнения».

Еще пример:

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Здесь будем приравнивать расстояние.

Пусть скорость велосипедиста будет , а мотоциклиста – . До момента первой встречи велосипедист был в пути минут, а мотоциклист – . При этом они проехали равные расстояния:

Между встречами велосипедист проехал расстояние , а мотоциклист – . Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили– спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.

Полученные уравнения решаем в системе:

Комментарии

Расстояние 76 км, по течению за 6 час. Против течения за 9 час. Найти скорости катера и течения. КАК ОБЪЯСНИТЬ РЕШЕНИЕ. Я БАБУШКА ВНУЧКА 5 КЛАСС. E-mail нет

Внимательно прочитайте условие задачи. То есть сначала надо понять что произошло. А потом уже решать. Что мы можем понять из условий задачи? 1. То, что расстояние, которое проплыл катер, одно и тоже. «Туда» = «обратно». Это важно потому что, чтобы решить задачу нам нужно составить уравнение, то есть узнать какая из трех переменных S, T или V одинаковая. В нашем случае это S. 2. Так же мы знаем, что когда катер плыл ПО течению, ему «помогала» река, то есть у него было две скорости, своя собственная и скорость течения реки. (Vk + Vр) 3. А когда катер плыл ПРОТИВ течения, ему «мешала» река, то есть из скорости катера надо вычесть скорость течения реки (Vk — Vр) Мы знаем, что основная формула при задачах на движение — это: S = V * T (Расстояние = скорость умножить на время. ) Давайте опишем словами то, что мы знаем в виде УРАВНЕНИЯ (напомню: нам всегда нужно искать уравнение, чтобы решить задачу): Расстояние по течению = Расстоянию против течения (Vкатера + Vреки)*6 часов = (Vкатера — Vреки)*9 часов Дальше алгебра… раскрываем скобки приводим подобные и тд 6 (Vк + Vр) = 9 (Vk-Vр) Раскрываем скобки: 6 Vк + 6 Vр = 9Vk — 9Vр Приводим подобные: 6 Vр + 9Vр = 9Vk — 6 Vк 15 Vр = 3 Vk 5Vр = Vk Мы узнали, что скорость реки была в пять раз меньше скорости катера. Значит, если мы найдем скорость реки, найдем и скорость катера. И наоборот. Чтобы найти скорость реки опять пользуемся основной формулой (мы все время ей пользуемся) и опишем чему равно расстояние пройденное катером ПО ТЕЧЕНИЮ РЕКИ. (Vk + Vр) * T = S (Vk + Vр) * 6 часов = 76 км Дальше опять алгебра: (5Vр + Vр) * 6 = 76 36 Vр = 76 Vр = 76/36 = 2,11 Теперь найдем скорость катера: Vк = Vр * 5 = 2,11 * 5 = 10,55 Проверяем: 6 (Vк + Vр) = 9 (Vk-Vр) 6 * (10,55 + 2,11) = 9 * (10,55 — 2,11) 6 * 12,66 = 9 * 8,44 75.96 = 75.96. (Ошибка вызвана округлением. Должно быть 76км. Но задача решена правильно.)

Уважаемый Админ, у вас в задаче про лодку написано решение: (40−x)⋅4 = (40+x)⋅2 160− 4x = 100+2x 60=6x x=10 Но 40 умножить на 2 не будет 100

youclever.org

Это интересно:

  • Наследие накопительной части пенсии НПФ Наследие: отзывы НПФ Наследие был создан в декабре 1993, и является старейшим негосударственным фондом в России. Он был учрежден предприятиями, входящими в ГМК «Норильский Никель». Уже на протяжении нескольких десятков лет, […]
  • Новостройки иск МУП "ИСК г.Уфы" За период с 2014-2017гг. с привлечением бюджетного финансирования реконструирован стадион «Нефтяник», позволяющий принимать матчи Российской футбольной премьер лиги; построен детский сад на 216 мест с бассейном по ул. […]
  • Анализ расчетов по налогам и сборам Анализ расчетов плательщика по налогам и сборам, пути его совершенствования Страницы работы Фрагмент текста работы 3. Анализ расчетов плательщика по налогам и сборам, пути его совершенствования 3.1. Информационное обеспечение и […]
  • Кассир вахтой с проживанием Кассир вахтой с проживанием Деловой Город • Москва Гросс/год: 65 000 руб. Продавец-кассир (вахта) Наши Люди • Москва Гросс/год: 64 000 руб. Продавец-кассир (вахта) Деловой Город • Москва Гросс/год: 65 000 руб. Продавец-кассир в […]
  • Князь мал правил в Мал Древлянский - легенда, подтвержденная летописью 2016-11-03 | Яна Цецарска Иногда так бывает. Ты ищешь, собираешь материал об одном историческом событии, и, вдруг, всплывает информация, которая тебя просто захватывает. Так и […]
  • Пособия для детей средней группы Материал (средняя группа) по теме: Дидактическое пособие по ПДД "Автобус" Паспорт дидактического пособия «Автобус» МБДОУ « Детский сад комбинированного вида №7 «Непоседа» ЧМР 422980 ул.К.Маркса д.54 Ф.И.О разработки […]