Оглавление:

Деление с остатком

Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.

Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело.

Деление с остатком записывают так:

Читается пример следующим образом:

« 17 » разделить на « 3 » получится « 5 » и остаток « 2 ».

Порядок решения примеров на деление с остатком.

    Находим наибольшее число до « 17 », которое делится на « 3 » без остатка. Это « 15 ».

При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если получилось, что остаток больше делителя, значит, вы неверно нашли наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.

При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число из пункта 1. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик. Покажем это на примере.

Методом подбора найдём на сколько надо умножить « 27 », чтобы получить ближайшее число к « 190 ».

Попробуем умножить на « 6 ».

Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.

Остаток больше делителя. Это означает, что « 6 » как множитель нам не подходит. Попробуем умножить делитель на « 7 ».

Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.

Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно. Запишем ответ.

Все вычисления выше можно представить в виде деления в столбик. Правила деления в столбик вы можете освежить в уроке «Деление в столбик» на нашем сайте.

Как проверить деление с остатком

  1. Умножить неполное частное на делитель
  2. Прибавить к полученному результату остаток
  3. Сравнить полученный результат с делимым

Проверим ответ нашего примера.

Деление с остатком выполнено верно.

Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток равен делимому.

  • 6 : 10 = 0 ост (6)
  • 14 : 112 = 0 ост (14)
  • 31 : 45 = 0 ост (31)

Другими словами, если вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно нулю.

math-prosto.ru

Деление целых чисел с остатком, правила, примеры.

В этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком. Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.

Навигация по странице.

Общее представление о делении целых чисел с остатком

Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел.

Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.

Мы будем говорить о делении с остатком произвольного целого числа a на целое число b , которое отлично от нуля. Для b=0 деление с остатком не определяют, также как не определяют деление целого числа на нуль без остатка.

По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b ( b не равно нулю) являются два целых числа c и d . Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b , а целое число c называется неполным частным (или просто частным, если остаток равен нулю).

Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число, и его величина не превосходит модуля числа b , то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).

Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b , то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d) .

Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.

Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.

С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.

Так как целые положительные числа являются натуральными числами, то смысл деления с остатком целых положительных чисел должен полностью совпадать со смыслом деления натуральных чисел с остатком.

Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг. Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1) .

Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a , делитель b , неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d . Для целых чисел a , b , c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком.

Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r , где q и r – некоторые целые числа, причем .

Сначала докажем возможность представления a=b·q+r .

Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q , что a=b·q . В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0 .

Теперь будем считать, что b – целое положительное число. Выберем целое число q таким образом, чтобы произведение b·q не превышало числа a , а произведение b·(q+1) было уже больше, чем a . То есть, возьмем q таким, чтобы выполнялись неравенства b·q

Осталось доказать возможность представления a=b·q+r для отрицательных b .

Так как модуль числа b в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q1 – некоторое целое число, а r – целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q1 , получаем нужное нам представление a=b·q+r для отрицательных b .

Переходим к доказательству единственности.

Предположим, что помимо представления a=b·q+r , q и r – целые числа и , существует еще одно представление a=b·q1+r1 , где q1 и r1 – некоторые целые числа, причем q1≠q и .

После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q1)+r−r1 , которое равносильно равенству r−r1=b·(q1−q) . Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа — и равенство .

Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q и q1 – целые и q≠q1 , то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a , кроме a=b·q+r .

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a , если известны делитель b , неполное частное c и остаток d . Рассмотрим пример.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12 ?

Нам требуется вычислить делимое a , когда известен делитель b=−21 , неполное частное c=5 и остаток d=12 . Обратившись к равенству a=b·c+d , получаем a=(−21)·5+12 . Соблюдая порядок выполнения действий, сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по правилу умножения целых чисел с разными знаками, после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками: (−21)·5+12=−105+12=−93 .

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c , c=(a−d):b и d=a−b·c . Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b , когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c . Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3 , если известно, что неполное частное равно −7 .

Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c . Из условия имеем все необходимые данные a=−19 , b=3 , c=−7 . Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21) мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел, так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.

С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком, этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.

Выполните деление с остатком числа 14 671 на 54 .

Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:

Неполное частное получилось равным 271 , а остаток равен 37 .

14 671:54=271 (ост. 37) .

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число.

Неполное частное от деления целого положительного числа a на целое отрицательное число b представляет собой число, противоположное неполному частному от деления модуля числа a на модуль числа b , а остаток от деления a на b равен остатку от деления на .

Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом.

Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное:

  • Находим модули делимого и делителя.
  • Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если при этом остаток получился равным нулю, то исходные числа делятся без остатка, и по правилу деления целых чисел с противоположными знаками искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
  • Записываем число, противоположное полученному неполному частному, и остаток. Эти числа являются соответственно искомым частным и остатком от деления исходного целого положительного числа на целое отрицательное.

Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Выполните деление с остатком целого положительного числа 17 на целое отрицательное число −5 .

Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.

Модуль делимого равен 17 , модуль делителя равен 5 .

Разделив 17 на 5 , получаем неполное частное 3 и остаток 2 .

Число, противоположное числу 3 , — это −3 . Таким образом, искомое неполное частное от деления 17 на −5 равно −3 , а остаток равен 2 .

www.cleverstudents.ru

Деление натуральных чисел с остатком: правила, примеры и решения.

От общего представления о делении натуральных чисел с остатком будем двигаться дальше, и в этой статье мы разберемся с принципами, по которым проводится это действие. Вообще деление с остатком имеет много общего с делением натуральных чисел без остатка, так что мы будем часто ссылаться на материал указанной статьи.

Сначала разберемся с делением натуральных чисел с остатком в столбик. Дальше мы покажем, как можно отыскать результат деления натуральных чисел с остатком, проводя последовательное вычитание. После этого перейдем к методу подбора неполного частного, не забывая при этом приводить примеры с подробным описанием решения. Далее запишем алгоритм, позволяющий проводить деление натуральных чисел с остатком в общем случае. В конце статьи мы покажем, как выполняется проверка результата деления натуральных чисел с остатком.

Навигация по странице.

Деление натуральных чисел в столбик с остатком

Одним из самых удобных способов деления натуральных чисел с остатком является деление столбиком. В статье деление натуральных чисел столбиком мы очень подробно разобрали этот метод деления. Здесь не будем повторяться, а просто приведем решение одного примера.

Выполните деление с остатком натурального числа 273 844 на натуральное число 97 .

Проведем деление столбиком:

Таким образом, неполное частное от деления 273 844 на 97 равно 2 823 , а остаток равен 13 .

273 844:97=2 823 (ост. 13) .

Деление натуральных чисел с остатком через последовательное вычитание

Найти неполное частное и остаток от деления натуральных чисел можно, выполняя последовательное вычитание делителя.

Суть этого подхода проста: из элементов имеющегося множества последовательно формируются множества с требуемым количеством элементов до того момента, пока это возможно, количество полученных множеств дает неполное частное, а количество оставшихся элементов в исходном множестве – остаток от деления.

Допустим, нам нужно разделить 7 на 3 .

Представим, что нам нужно разложить 7 яблок в пакеты по 3 яблока. Из исходного количества яблок мы берем 3 штуки и кладем их в первый пакет. При этом в силу смысла вычитания натуральных чисел у нас остается 7−3=4 яблока. Из них мы опять берем 3 штуки, и кладем их во второй пакет. После этого у нас остается 4−3=1 яблоко. Понятно, что на этом процесс заканчивается (мы не можем сформировать еще один пакет с требуемым количеством яблок, так как оставшееся количество яблок 1 меньше нужного нам количества 3 ). В итоге мы имеем два пакета с требуемым количеством яблок и одно яблоко в остатке.

Тогда в силу смысла деления натуральных чисел с остатком можно утверждать, что мы получили следующий результат 7:3=2 (ост. 1) .

Рассмотрим решение еще одного примера, при этом приведем лишь математические выкладки.

Разделите натуральное число 145 на 46 , выполняя последовательное вычитание.

145−46=99 (при необходимости обращайтесь к статье вычитание натуральных чисел). Так как 99 больше, чем 46 , то проводим вычитание делителя второй раз: 99−46=53 . Так как 53>46 , то вычитаем делитель третий раз: 53−46=7 . Так как 7 меньше, чем 46 , то еще раз провести вычитание мы не сможем, то есть, на этом заканчиваем процесс последовательного вычитания.

В итоге нам потребовалось из делимого 145 последовательно вычесть 3 раза делитель 46 , после чего получился остаток 7 . Таким образом, 145:46=3 (ост. 7) .

Следует заметить, что если делимое меньше делителя, то мы не сможем проводить последовательное вычитание. Да это и не нужно, так как в этом случае мы можем сразу написать ответ. В этом случае неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому. То есть, если a

Еще нужно сказать, что выполнять деление натуральных чисел с остатком рассмотренным способом хорошо лишь тогда, когда для получения результата требуется провести небольшое количество последовательных вычитаний.

Подбор неполного частного

При делении данных натуральных чисел a и b с остатком неполное частное c можно подобрать. Сейчас мы покажем, на чем основан процесс подбора и как он должен проходить.

Сначала определимся, среди каких чисел искать неполное частное. Когда мы говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком, то выяснили, что неполное частное может быть либо нулем, либо натуральным числом, то есть, одним из чисел 0 , 1 , 2 , 3 , . Таким образом, искомое неполное частное является одним из записанных чисел, и нам остается перебрать их, чтобы определить, каким именно числом является неполное частное.

Дальше нам потребуется уравнение вида d=a−b·c , задающее связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком, а также тот факт, что остаток всегда меньше делителя (это мы также упоминали, когда говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком).

Теперь можно переходить непосредственно к описанию процесса подбора неполного частного. Делимое a и делитель b нам известны изначально, в качестве неполного частного c мы последовательно принимаем числа 0 , 1 , 2 , 3 , …, каждый раз вычисляя значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем. Этот процесс завершается, как только полученное значение будет меньше, чем делитель. При этом число c на этом шаге является искомым неполным частным, а значение d=a−b·c является остатком от деления.

Осталось разобрать процесс подбора неполного частного на примере.

Выполните деление с остатком натурального числа 267 на 21 .

Подберем неполное частное. В нашем примере a=267 , b=21 . Будем последовательно придавать c значения 0 , 1 , 2 , 3 , …, вычисляя на каждом шаге значение d=a−b·c и сравнивая его с делителем 21 .

При c=0 имеем d=a−b·c=267−21·0=267−0=267 (сначала выполняется умножение натуральных чисел, а затем – вычитание, об этом написано в статье порядок выполнения действий). Полученное число больше, чем 21 (при необходимости изучите материал статьи сравнение натуральных чисел). Поэтому продолжаем процесс подбора.

При c=1 имеем d=a−b·c=267−21·1=267−21=246 . Так как 246>21 , то продолжаем процесс.

При c=2 получаем d=a−b·c=267−21·2=267−42=225 . Так как 225>21 , то двигаемся дальше.

При c=3 имеем d=a−b·c=267−21·3=267−63=204 . Так как 204>21 , то продолжаем подбор.

Далее по аналогии вычисляем значения d=a−b·c при c=4 , 5 , 6 , …, 11 .

При c=12 получаем d=a−b·c=267−21·12=267−252=15 . Получили число 15 , которое меньше, чем 21 , поэтому процесс можно считать завершенным. Мы подобрали неполное частное c=12 , при этом остаток d получился равным 15 .

Алгоритм деления натуральных чисел с остатком, примеры, решения

В этом пункте мы рассмотрим алгоритм, позволяющий проводить деление с остатком натурального числа a на натуральное число b в тех случаях, когда метод последовательного вычитания (и метод подбора неполного частного) требует слишком большого количества вычислительных операций.

Сразу отметим, что если делимое a меньше, чем делитель b , то мы знаем и неполное частное и остаток: при ab .

Прежде чем мы подробно опишем все шаги алгоритма деления натуральных чисел с остатком, ответим на три вопроса: что нам изначально известно, что нам нужно найти и исходя из каких соображений мы это будем делать? Изначально нам известно делимое a и делитель b . Нам нужно найти неполное частное c и остаток d . Равенство a=b·c+d задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Из записанного равенства следует, что если мы представим делимое a в виде суммы b·c+d , в которой d меньше, чем b (так как остаток всегда меньше делителя), то мы увидим и неполное частное c и остаток d .

Осталось лишь разобраться, как делимое a представить в виде суммы b·c+d . Алгоритм, позволяющий это сделать, очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Опишем все шаги, и одновременно будем вести решение примера для большей ясности. Разделим 899 на 47 .

Первые пять пунктов алгоритма позволят представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Нужно отметить, что действия из этих пунктов циклически повторяются снова и снова, пока не будут найдены все слагаемые, дающие в сумме делимое. В заключительном шестом пункте полученная сумма преобразуется к виду b·c+d (если полученная сумма уже не будет иметь такой вид), откуда становятся видны искомое неполное частное и остаток.

Итак, приступаем к представлению делимого 899 в виде суммы нескольких слагаемых.

Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.

В нашем примере в записи делимого 3 знака ( 899 – трехзначное число), а в записи делителя – два знака ( 47 – двузначное число), следовательно, в записи делимого на один знак больше, и мы запоминаем число 1 .

Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0 в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1 .

Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 47 дописываем справа одну цифру 0 , и получаем число 470 . Так как 470 47 , то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все этапы алгоритма.

В записи числа 429 на один знак больше, чем в записи числа 47 , поэтому, запоминаем число 1 .

Теперь в записи делимого справа дописываем одну цифру 0 , получаем число 470 , которое больше числа 429 . Поэтому, из запомненного в предыдущем пункте числа 1 вычитаем 1 , получаем число 0 , которое и запоминаем.

Так как в предыдущем пункте мы запомнили число 0 , то к цифре 1 не нужно справа приписывать ни одной цифры 0 . При этом имеем число 1 , то есть, рабочим разрядом является разряд единиц.

Теперь последовательно умножаем делитель 47 на 1 , 2 , 3 , … Не будем останавливаться на этом подробно. Скажем лишь, что 47·9=423 429 . Вторым искомым слагаемым является число 423 (которое равно 47·9 , что мы используем дальше).

Разность между 429 и 423 равна 6 . Это число меньше, чем делитель 47 , поэтому оно является третьим (и последним) искомым слагаемым. Теперь мы можем переходить к завершающему этапу.

Ну вот мы и подошли к заключительному этапу. Все предыдущие действия были направлены на то, чтобы представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Теперь полученную сумму осталось преобразовать к виду b·c+d . С этой задачей нам поможет справиться распределительное свойство умножения относительно сложения. После этого станут видны искомое неполное частное и остаток.

В нашем примере делимое 899 равно сумме трех слагаемых 470 , 423 и 6 . Сумму 470+423+6 можно переписать в виде 47·10+47·9+6 (помните, мы обращали внимание на равенства 470=47·10 и 423=47·9 ). Теперь применяем свойство умножения натурального числа на сумму, при этом получаем 47·10+47·9+6= 47·(10+9)+6= 47·19+6 . Таким образом, делимое преобразовано к нужному нам виду 899=47·19+6 , откуда легко находится неполное частное 19 и остаток 6 .

Итак, 899:47=19 (ост. 6) .

Конечно же, при решении примеров Вы не будете настолько подробно описывать процесс деления с остатком.

Выполните деление с остатком натурального числа 42 252 на натуральное число 68 .

Пройдя 5 шагов алгоритма, мы получим первое слагаемое 40 800 , которое равно 68·600 .

Второй раз прогоняем эти шаги с числом 1 452 (так как 42 252−40 800=1 452 ), получаем второе слагаемое 1 360 , которое равно 68·20 .

После этого нам приходится третий раз проходить эти шаги алгоритма с числом 92 (так как 1 452−1 360=92 ). При этом получается, что третье слагаемое есть 68 (оно представляется как 68·1 ), а четвертое слагаемое-остаток равно 24 (так как 92−68=24 ).

Таким образом, 42 252=40 800+1 360+68+24= 68·600+68·20+68·1+24= 68·(600+20+1)+24=68·621+24 .

Следовательно, неполное частное равно 621 , а остаток равен 24 .

42 252:68=621 (ост. 24) .

Проверка результата деления натуральных чисел с остатком

Как Вы уже заметили, деление натуральных чисел с остатком в общем случае является достаточно трудоемким процессом, и, определяя неполное частное и остаток, где-нибудь можно допустить ошибку. Поэтому, целесообразно ВСЕГДА выполнять проверку результата деления натуральных чисел с остатком. Сейчас мы разберемся, как такая проверка осуществляется, и рассмотрим решения характерных примеров.

Проверка результата деления натуральных чисел с остатком проводится в два этапа. На первом этапе выясняется, не получился ли остаток больше, чем делитель. Если остаток превосходит делитель или равен делителю, то деление было выполнено неверно. Если остаток все же меньше, чем делитель, то проверка продолжается. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d . Если эта связь между делимым a , делителем b , неполным частным c и остатком d нарушена, то где-то была допущена ошибка. Если же равенство a=b·c+d является верным, то деление с остатком было выполнено правильно.

Правильно ли было выполнено деление натуральных чисел с остатком, если получился такой результат 506:28=17 (ост. 30) ?

Мы видим, что остаток 30 получился больше, чем делитель 28 . Поэтому, деление с остатком было выполнено неправильно.

www.cleverstudents.ru

Деление с остатком. Формула деления с остатком и проверка.

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:


Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

a=bc+d
a – делимое,
b – делитель,
c – неполное частное,
d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Остаток от деления

Остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.

Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.

Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.

Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.

Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)

Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8

Решение:
а) Делим столбиком:

258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6 Category: 5 класс, Натуральные числа Leave a comment

tutomath.ru

Методическая разработка по математике (3 класс) на тему:
3 класс Математика Деление с остатком

План урока математики по теме «Деление с остатком»,

в 3-2 классе.ГБОУ Гимназия 271,14 февраля 2011 года.

Учитель: Шелгунова И.Н.

Тема: «Деление с остатком»

( 3 класс «Школа России»)

Урок изучения новых знаний.

Основная дидактическая цель – Познакомить с возможностью деления с остатком через формирование основ мыслительной операции – АБСТРАГИРОВАНИЕ.

Задачи:

1.Обучающие

1.1. Повторить случаи табличного и вне табличного деления, название компонентов и результатов действия деления.

1.2. Изучить возможность деления с остатком.

1.3. Учить применять формулу деления с остатком при решении задач и числовых выражений.

2.Воспитывающие:

2.1. Возбуждать интерес к математике.

2.2. Создать условия для развития умения слушать мнения других учеников.

2.3. Формировать математический взгляд при разборе жизненных ситуаций.

2.4. Формировать умение контролировать действия партнёра.

3. Развивающие:

3.1. Развивать внимание, наблюдательность, умения анализировать.

3.2. Способствовать развитию логического мышления.

3.3. Развивать умение находить необходимую информацию для выполнения заданий.

Ход урока:

1. На первом этапе, выполнив вне табличное деление разных чисел создадим УСЛОВИЕ (первичную информацию.

1.1Начинаем ровно в срок наш любимейший урок.

Мы друг к другу повернёмся, подмигнём и улыбнёмся!

Поприветствуем гостей, с ними нам вдвойне теплей!

Пожелайте нам удачи и успешности в придачу!

1.2 СЛАЙД 2. Выполните деление:

— Что общего в числовых выражениях? (Они все на деление)

Вспомним компоненты действия деления: (Делимое, делитель, частное)

— Какие числовые выражения были самыми лёгкими? (40:5, 28:28, 24:12)

-Почему? (Табличные случаи, делили число само на себя, подбирали частное)

— Какие выражения вызвали затруднения? ((12+15):3; (36-12):6)

— Почему? (Сначала находили сумму, а потом частное и сначала находили разность и только потом частное)

— Какое выражение не удалось решить? (15:2)

-Почему? ( Не делится без остатка)

Это и есть тема нашего урока – деление с остатком.

2. Используя ИП (1) создадим образ объекта – первичную модель.

-А пока решим практическую задачу:

Раздадим 7 тетрадей по 2 штуки ученикам.

— Сколько учеников получат тетради? (3)

— Сколько тетрадей останется? (1)

Как это записать? (7:2=3(ост.1) 1

Подписи к слайдам:

Деление с остатком Урок математики в 3-2 классе ГОУ гимназия №271 Шелгунова Ирина Николаевна

Устный счёт: Выполни вычисления: 24:12 40:5 28:28 (12+15):3 (36-12):6 15:2 20.12.2012 2

Решаем задачи Раздайте 7 тетрадей ученикам по 2 штуки каждому. Сколько учеников получат тетради? Сколько тетрадей останется? 20.12.2012 3 7:2=3(ост.1) 1 <3

Решаем задачи В нашем классе все ученики допущены к занятиям в бассейне. Вам нужно разделиться на пять команд по числу дорожек. Сколько человек будет в команде ? Оставшиеся будут запасными. Сколько будет запасных? 20.12.2012 4 28 :5=5(ост.3) 3 < 5

Деление с остатком 20.12.2012 5 15:2 15:2=7(ост.1) 15 7 2 14 — 1

Деление с остатком 20.12.2012 6 15:4 15:4=3(ост.3) 15 3 4 12 — 3

Деление с остатком 20.12.2012 7 15:5 15:5=3(ост.0) 15 3 5 15 — 0

ФИЗМИНУТКА Вы наверное устали? Ну, тогда все дружно встали. Вверх ладошки! Хлоп-хлоп. По коленкам Шлёп-шлёп… По плечам теперь похлопай.. По бокам себя пошлёпай… Мы осанку исправляем, Спинки дружно прогибаем. Вправо, влево мы нагнулись, До носочков дотянулись… Плечи вверх, назад и вниз, Улыбайся и садись. 20.12.2012 8

Блиц — опрос Может ли остаток быть больше делителя? Может ли остаток быть равен делителю ? Какие могут быть остатки при делении на 5? 20.12.2012 9

ВЫВОД a : b =c (ост. n ) n < b 20.12.2012 10

nsportal.ru

Это интересно:

  • Изыскания суд Постановление Суда по интеллектуальным правам от 2 августа 2016 г. № С01-469/2016 по делу N А43-7382/2015 Оснований для отмены состоявшихся по делу судебных актов нет, поскольку выполненный заявителем отчет по инженерно-геодезическим […]
  • Статья 2432 ук рф Апелляционное постановление СК по уголовным делам Санкт-Петербургского городского суда от 27 марта 2017 г. по делу N 22-2432/2017 Апелляционное постановление СК по уголовным делам Санкт-Петербургского городского суда от 27 марта 2017 […]
  • Закон москвы 17 Закон г. Москвы от 5 мая 2010 г. N 17 "О Генеральном плане города Москвы" (с изменениями и дополнениями) Закон г. Москвы от 5 мая 2010 г. N 17"О Генеральном плане города Москвы" С изменениями и дополнениями от: 26 октября 2011 г., 15 […]
  • Приказ 196 минтранса рф Приказ Министерства транспорта РФ от 24 июня 2015 г. № 196 “О внесении изменений в Обязательные постановления в морском порту Кавказ, утвержденные приказом Министерства транспорта Российской Федерации от 29 мая 2013 г. № 190” В […]
  • Юристы спб фрунзенский район Юридические фирмы, Фрунзенский район, СПб Юридическая фирма КОЛЛЕГИЯ ПАВЛОВА 7-812-715-06-19 7-812-702-72-54 192007, Санкт-Петербург, Лиговский просп., д. 171, вход со двора Юридическая фирма ВЕРДИКТ ОПТИМА 7-812-766-28-80 […]
  • Закон московской области об обеспечении тишины и покоя в московской области Статья 2. Периоды времени, в которые не допускается нарушение тишины и покоя граждан Статья 2. Периоды времени, в которые не допускается нарушение тишины и покоя граждан Не допускается нарушение тишины и покоя граждан: Информация об […]