Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя
Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.
Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.
Предел функции в точке — правило Лопиталя
Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch
Точка в которой необходимо посчитать предел
Правило Лопиталя
Если выполняются следующие условия:
- пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
или ; - функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
- производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
- и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):
Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
,
И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):
В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:
+ — сложение
— — вычитание
* — умножение
/ — деление
^ — возведение в степень
и следующих функций:
- sqrt — квадратный корень
- rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
- exp — e в указанной степени
- lb — логарифм по основанию 2
- lg — логарифм по основанию 10
- ln — натуральный логарифм (по основанию e)
- logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
- sin — синус
- cos — косинус
- tg — тангенс
- ctg — котангенс
- sec — секанс
- cosec — косеканс
- arcsin — арксинус
- arccos — арккосинус
- arctg — арктангенс
- arcctg — арккотангенс
- arcsec — арксеканс
- arccosec — арккосеканс
- versin — версинус
- vercos — коверсинус
- haversin — гаверсинус
- exsec — экссеканс
- excsc — экскосеканс
- sh — гиперболический синус
- ch — гиперболический косинус
- th — гиперболический тангенс
- cth — гиперболический котангенс
- sech — гиперболический секанс
- csch — гиперболический косеканс
- abs — абсолютное значение (модуль)
- sgn — сигнум (знак)
planetcalc.ru
пределы — Вычислить предел используя правило Лопиталя:
Вычислить предел используя правило Лопиталя:
задан 20 Дек ’15 16:42
Найдём логарифм предела. Получится $%\dfrac<2\ln(3^<-x>+3x)><3x>$%. Пусть $%x\to+\infty$%. Получается неопределённость типа $%\frac<\infty><\infty>$%. Без учёта множителя $%\frac23$%, продифференцируем числитель и знаменатель. Производная числителя равна $%\dfrac<-3^<-x>+3><3^<-x>+3x>$%, и её предел равен нулю. Производная знаменателя равна 1. Значит, логарифм предела равен нулю, и сам предел равен 1 при $%x\to+\infty$%.
Теперь пусть $%x\to-\infty$%. Снова имеем неопределённость прежнего типа, и применяем правило Лопиталя. Производная числителя тождественно равна $%\dfrac<-1+3\cdot3^x><1+x3^
Ввиду того, что два найденных односторонних предела не равны, можно сделать вывод, что предела функции при $%x\to\infty$% не существует.
отвечен 20 Дек ’15 19:07
@falcao. А разве мы не можем в ответе дать оба значения пределов: на +oo и -оо?
@nynko: можем. Но я именно эту информацию по отдельности и дал. Остальное зависит от того, что понимали авторы условия. Если исходить из определения, то предела не существует, хотя односторонние пределы имеются.
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
задан
20 Дек ’15 16:42
показан
370 раз
обновлен
20 Дек ’15 22:38
math.hashcode.ru
Вычислить предел, используя правило Лопиталя
Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков:
Вычислить предел по правилу Лопиталя
Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:
В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения .
Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.
Вычислить предел по правилу Лопиталя
Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =)
Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби:
Вычислить предел, используя правило Лопиталя
Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию:
После дифференцирования настоятельно рекомендуюизбавляться от многоэтажности дробии проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.
Вычислить предел, используя правило Лопиталя
Вычислить предел, используя правило Лопиталя
Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, слишком уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь.
И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённостьне устранена.
Вычислить предел, используя правило Лопиталя
Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.
На днях мне попалось любопытное задание:
Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя
Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа.
Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….
В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .
Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урокаМетоды решения пределов. Давайте для проформы ещё один:
Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя
На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:
Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.
Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :
Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя
Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.
Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:
После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз:
Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам:
Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.
Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность».
В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:
Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя
Для устранения неопределённости используем основное логарифмическое тождество: . В данном случае :
На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, «сносим» синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всего, к верхнему этажу).
Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:
С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость , к которой применимо правило Лопиталя:
Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:
Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно:
В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость :
Вычислить предел по правилу Лопиталя
Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :
В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно:
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Вычислить предел по правилу Лопиталя
Полное решение и ответ в конце урока.
Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы:
Вычислить с помощью правила Лопиталя
В заключение хочу успокоить гринписовцев – ни один воробей от оружия серьёзно не пострадал, пределы – птицы юркие, да и ядра формы обтекаемой. Вспоминаем обычное требование: «…не пользуясь правилом Лопиталя». С беспощадной действительностью соприкоснёмся в статье Сложные пределы.
Пример 14
Используем основное логарифмическое тождество и преобразование:
Вычислим предел показателя:
Пример 15
Используем основное логарифмическое тождество:
studopedia.ru
Правило Лопиталя: теория и примеры решений
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
Раскрытие неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций значительно упрощается с помощью правила Лопиталя (на самом деле двух правил и замечаний к ним).
Суть правил Лопиталя состоит в том, что в случае, когда вычисление предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций даёт неопределённости видов 0/0 или ∞/∞, предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Перейдём к формулировкам правил Лопиталя.
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю
(),
то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных
().
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причём в этой окрестности g‘(x)≠0 и если и если пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности
(),
то предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных
().
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).
Замечания.
1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.
2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).
3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Раскрытие неопределённостей видов «ноль делить на ноль» и «бесконечность делить на бесконечность»
Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем
В числителе вычисляли производную многочлена, а в знаменателе — производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.
Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 4. Вычислить
.
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.
Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
.
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.
Пример 6. Вычислить
.
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.
Пример 7. Вычислить
.
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида — ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Пример 8. Вычислить
.
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9. Вычислить
.
Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.
Пример 10. Вычислить
.
Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.
Раскрытие неопределённостей вида «ноль умножить на бесконечность»
Пример 11. Вычислить
.
(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как
а затем применили правила Лопиталя).
Пример 12. Вычислить
.
В этом примере использовано тригонометрическое тождество .
Раскрытие неопределённостей видов «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль» и «один в степени бесконечность»
Неопределённости вида ,
или
обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида
Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество
, частным случаем которого является
и свойство логарифма
.
Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:
Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.
Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
.
Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
.
Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Вычисляем предел выражения в показателе степени
.
Раскрытие неопределённостей вида «бесконечность минус бесконечность»
Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости «бесконечность минус бесконечность»: .
Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:
В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.
Пример 16. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем
Пример 17. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
.
Решение. Пользуясь вышеперечисленными рекомендациями, получаем
function-x.ru
Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы
Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.
Правило Лопиталя: история и определение
На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.
Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.
Пределы
Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.
Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.
Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:
Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.
Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:
Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:
Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.
Неопределенности
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:
Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:
Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:
Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:
Таблица производных
Теперь перейдем к примерам.
Найти предел по правилу Лопиталя:
Вычислить с использованием правила Лопиталя:
Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.
Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:
Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.
zaochnik.ru