Оглавление:

Математический портал

Nav view search

Navigation

  • Вы здесь:
  • Home
  • Математический анализ
  • Правило Лопиталя

Правило Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида
$\frac<0><0>$ или $\frac<\infty><\infty>$).

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ :

а) дифференцируемы в окрестности точки $a,$ за исключением, быть
может, самой точки $a,$ причем $g'(x)\neq 0$ в этой окрестности;

б) функции $f(x)$ и $g(x)$ являются одновременно либо бесконечно
малыми либо бесконечно большими при $x\rightarrow a;$

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в точке $a,$

Примеры:

Имеем неопределенность вида $\frac<0><0>.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

Имеем неопределенность вида $\frac<0><0>.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

Имеем неопределенность вида $\frac<\infty><\infty>.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

Имеем неопределенность вида $\frac<0><0>.$ Замечая, что $\sin x\sim x$ при $x\rightarrow 0,$ по правилу Лопиталя находим

Имеем неопределенность вида $\frac<0><0>.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

Пользуясь еще раз правилом Лопиталя, находим

Пусть $k=[\alpha]+1;$ тогда $\alpha-k 0,$ $\beta>0.$

Имеем неопределенность вида $\frac<0><0>.$ Применяя правило Лопиталя, получим:

8. $\lim\limits_x\ln x$

Преобразуя неопределенность вида $0\cdot\infty$ к виду $\frac<\infty><\infty>$ и применяя правило Лопиталя имеем

Имеем неопределенность вида $\frac<0><0>.$ Полагая $1/x^2=t,$ получаем

Преобразуя неопредленность вида $\infty-\infty$ к виду $\frac<0><0>$ и используя асимптотическую формулу $\sin x \sim x$ при $x\rightarrow 0,$ получаем

а $\lim\limits_\frac<\sin x-x\cos x>=\frac<1><3>$ (см. пример 4), то искомый предел равен $2/3.$

mathportal.net

Gerere24.ru

Вычислить предел используя правило

пределы — Вычислить предел используя правило Лопиталя:

Вычислить предел используя правило Лопиталя:

задан 20 Дек ’15 16:42

Найдём логарифм предела. Получится $%\dfrac +3x)> $%. Пусть $%x\to+\infty$%. Получается неопределённость типа $%\frac $%. Без учёта множителя $%\frac23$%, продифференцируем числитель и знаменатель. Производная числителя равна $%\dfrac +3> +3x>$%, и её предел равен нулю. Производная знаменателя равна 1. Значит, логарифм предела равен нулю, и сам предел равен 1 при $%x\to+\infty$%.

Теперь пусть $%x\to-\infty$%. Снова имеем неопределённость прежнего типа, и применяем правило Лопиталя. Производная числителя тождественно равна $%\dfrac >$%, и её предел равен $%-1$%, так как $%x3^ $% здесь стремится к нулю, поскольку экспонента растёт быстрее линейной функции. Производная знаменателя та же самая. Таким образом, логарифм предела оказывается равен $%-\frac23$%, а сам предел равен $%e^ $% при $%x\to-\infty$%.

Ввиду того, что два найденных односторонних предела не равны, можно сделать вывод, что предела функции при $%x\to\infty$% не существует.

отвечен 20 Дек ’15 19:07

@falcao. А разве мы не можем в ответе дать оба значения пределов: на +oo и -оо?

@nynko: можем. Но я именно эту информацию по отдельности и дал. Остальное зависит от того, что понимали авторы условия. Если исходить из определения, то предела не существует, хотя односторонние пределы имеются.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

задан
20 Дек ’15 16:42

показан
364 раза

обновлен
20 Дек ’15 22:38

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков:

Вычислить предел по правилу Лопиталя

Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:

В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения .

Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =)

Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби:

Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию:

После дифференцирования настоятельно рекомендуюизбавляться от многоэтажности дробии проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, слишком уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь.

И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённостьне устранена.

Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.

На днях мне попалось любопытное задание:

Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа.

Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….

В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .

Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урокаМетоды решения пределов. Давайте для проформы ещё один:

На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:

Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.

Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.

Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:

После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз:

Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам:

Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.

Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность».

В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:

Для устранения неопределённости используем основное логарифмическое тождество: . В данном случае :

На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, «сносим» синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всего, к верхнему этажу).

Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость , к которой применимо правило Лопиталя:

Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно:

В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость :

Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно:

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Полное решение и ответ в конце урока.

Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы:

Вычислить с помощью правила Лопиталя

В заключение хочу успокоить гринписовцев – ни один воробей от оружия серьёзно не пострадал, пределы – птицы юркие, да и ядра формы обтекаемой. Вспоминаем обычное требование: «…не пользуясь правилом Лопиталя». С беспощадной действительностью соприкоснёмся в статье Сложные пределы.

Пример 14
Используем основное логарифмическое тождество и преобразование:

Вычислим предел показателя:

Пример 15
Используем основное логарифмическое тождество:

Вычислить предел используя правило

Автор Тема: Вычислить предел, не используя правило Лопиталя (Прочитано 4133 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

  • Математика (Модераторы: Semen_K, Данила, lu, Dlacier, tig81) →
  • Похожие темы (5)

  • © Webmath.ru — контрольные работы и курсовые работы на заказ
    • SMF 2.0.14 | SMF © 2017, Simple Machines
    • Карта сайта

    Размер занимаемой памяти: 3.5 мегабайта.
    Страница сгенерирована за 0.126 секунд. Запросов: 21.

    Предел функции, правило Лопиталя

    Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределов при получении неопределенностей вида » open=» 0 0 и » open=» ∞ ∞ .

    Имеются неопределенности вида » open=» 0 · ∞ и » open=» ∞ — ∞ .

    Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.

    Правило Лопиталя

    Когда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = » open=» 0 0 или » open=» ∞ ∞ и функции f ( x ) , g ( x ) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ‘ ( x ) g ‘ ( x ) .

    Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

    Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) .

    Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = sin 2 ( 3 · 0 ) 0 · cos ( 0 ) = » open=» 0 0 .

    Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

    lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) ‘ x · cos ( x ) ‘ = lim x → 0 2 sin ( 3 x ) ( sin ( 3 x ) ) ‘ x ‘ · cos ( x ) + x · ( cos ( x ) ) ‘ = = lim x → 0 6 sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) cos ( x ) — x · sin ( x ) = 6 sin ( 3 · 0 ) cos ( 3 · 0 ) cos ( 0 ) — 0 · sin ( 0 ) = 0 1 = 0

    Ответ: lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = 0 .

    Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln ( x ) x .

    Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

    lim x → ∞ ln ( x ) x = ln ( ∞ ) ∞ = » open=» ∞ ∞

    Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

    lim x → ∞ ln ( x ) x = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ ln ( x ) ‘ x ‘ = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

    Ответ: lim x → ∞ ln ( x ) x = 0

    Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) )

    Производим подстановку значения x . получаем, что

    lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = ( 0 + 0 ) 4 · ln ( 0 + 0 ) = » open=» 0 · ( — ∞ )

    Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

    lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = ln ( 0 + 0 ) ( 0 + 0 ) — 4 = » open=» — ∞ + ∞

    Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

    lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = » open=» — ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 ( ln ( x ) ) ‘ ( x — 4 ) ‘ = lim x → 0 + 0 1 x — 4 — 5 = — 1 4 lim x → 0 + 0 1 x — 4 = — 1 4 · 1 ( 0 + 0 ) — 4 = = — 1 4 · ( 0 + 0 ) 4 = 0

    Ответ: lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = 0

    Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 .

    После подстановки получаем

    lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞

    Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

    lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞ = lim x → 0 cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) — 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 ( x ) — sin 2 ( x ) x 2 sin 2 ( x ) = lim x → 0 x cos x — sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 ( x ) = = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = 2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = = 2 0 · cos ( 0 ) — sin ( 0 ) 0 · sin 2 ( 0 ) = » open=» 0 0

    Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

    2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 ( x cos x — sin x ) ‘ ( x sin 2 ( x ) ) ‘ = = 2 lim x → 0 cos x — x sin x — cos x sin 2 ( x ) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0

    Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

    2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 — x ‘ sin ( x ) + 2 x cos x ‘ = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x — 2 x sin x = — 2 · 1 3 · cos ( 0 ) — 2 · 0 · sin ( 0 ) = — 2 3

    Ответ: lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = — 2 3

    Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

    Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

    Правило Лопиталя: история и определение

    На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

    Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

    Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

    Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

    Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

    Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

    Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

    Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

    В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

    Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

    Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

    Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

    Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

    Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

    Теперь перейдем к примерам.

    Найти предел по правилу Лопиталя:

    Вычислить с использованием правила Лопиталя:

    Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

    Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

    Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

    Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

    gerere24.ru

    Предел функции, правило Лопиталя.

    Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность .

    К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность и бесконечность минус бесконечновть .

    Дифференцирование функции и нахождение производной является неотъемлемой частью правила Лопиталя, так что рекомендуем обращаться к этому разделу.

    Формулировка правила Лопиталя cледующая:

    Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки , то

    В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

    Рассмотрим несколько примеров и подробно разберем решения.

    Вычислить предел, используя правило Лопиталя

    Пределы с неопределенностью данного типа можно находить по правилу Лопиталя:

    Для данного типа неопределенностей можно использовать правило Лопиталя при нахождении предела.

    Пришли к неопределенности вида ноль умножить на бесконечность. Обращаемся к таблице неопределенностей для выбора метода решения. Преобразуем выражение, чтобы можно было применить правило Лопиталя.

    Пришли к неопределенности бесконечность делить на бесконечность, а значит, можно найти предел по правилу Лопиталя.

    Пришли к неопределенности бесконечность минус бесконечность. Преобразуем выражение, чтобы можно было применить правило Лопиталя.

    Последний переход был сделан при использовании первого замечательного предела. Теперь можно найти предел по правилу Лопиталя.

    Неопределенность не исчезла, поэтому применим правило Лопиталя еще раз.

    promatematiku.ru

    Пределы функции не используя правило лопиталя

    Вычислить предел, используя правило Лопиталя

    Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков:

    Вычислить предел по правилу Лопиталя

    Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:

    В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения .

    Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

    Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =)

    Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби:

    Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию:

    После дифференцирования настоятельно рекомендуюизбавляться от многоэтажности дробии проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: , но в некоторых пределах запутаются даже отличники.

    Вычислить предел, используя правило Лопиталя

    Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, слишком уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь.

    И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённостьне устранена.

    Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при , а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно.

    На днях мне попалось любопытное задание:

    Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя

    Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа.

    Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа….

    В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида .

    Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урокаМетоды решения пределов. Давайте для проформы ещё один:

    На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость в неопределённость . А затем заряжаем правило Лопиталя:

    Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно.

    Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

    Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа.

    Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме:

    После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз:

    Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам:

    Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет.

    Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность».

    Для устранения неопределённости используем основное логарифмическое тождество: . В данном случае :

    На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, «сносим» синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всего, к верхнему этажу).

    Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

    С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость , к которой применимо правило Лопиталя:

    Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

    Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно:

    В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость :

    Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

    В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно:

    Полное решение и ответ в конце урока.

    Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы:

    Вычислить с помощью правила Лопиталя

    В заключение хочу успокоить гринписовцев – ни один воробей от оружия серьёзно не пострадал, пределы – птицы юркие, да и ядра формы обтекаемой. Вспоминаем обычное требование: «…не пользуясь правилом Лопиталя». С беспощадной действительностью соприкоснёмся в статье Сложные пределы.

    Пример 14
    Используем основное логарифмическое тождество и преобразование:

    Вычислим предел показателя:

    Пример 15
    Используем основное логарифмическое тождество:

    Пределы функции не используя правило лопиталя

    Версия системы:
    7.47 (16.04.2018)

    Общие новости:
    13.04.2018, 10:33

    Последний вопрос:
    13.07.2018, 19:52

    Последний ответ:
    13.07.2018, 17:32

    Последняя рассылка:
    13.07.2018, 22:45

    РАЗДЕЛ • Математика

    Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

    [администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

    Лучшие эксперты в этом разделе

    Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

    Найти предел функции, не используя правило Лопиталя.

    ——
    Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения) :

    Состояние: Консультация закрыта

    По-моему, задание можно выполнить следующим образом. Имеем Примем Тогда

    0

    Отправлять сообщения
    модераторам могут
    только участники портала.
    ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
    регистрация »

    ID: 400938

    Как в конце единицу получили?

    Гордиенко Андрей Владимирович
    Модератор

    ID: 17387

    Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
    Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

    Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя

    Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞.

    Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные числителя и знаменателя). Описание правила смотри ниже.

    Предел функции в точке — правило Лопиталя

    Допустимые операции: + — / * ^ Константы: pi Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

    Точка в которой необходимо посчитать предел

    Правило Лопиталя

    Если выполняются следующие условия:

    • пределы функций f(x) и g(x) равны между собой и равны нулю или бесконечности:
      или ;
    • функции g(x) и f(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
    • производная функции g(x) не равна нулю в проколотой окрестности a
    • и существует предел отношения производной f(x) к производной g(x):

    Тогда существует предел отношения функций f(x) и g(x):
    ,

    И он равен пределу отношения производной функции f(x) к производной функции g(x):

    В формуле допускается использование числа пи (pi), экспоненты (e), следующих математических операторов:

    + — сложение
    — вычитание
    * — умножение
    / — деление
    ^ — возведение в степень

    и следующих функций:

  • sqrt — квадратный корень
  • rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
  • exp — e в указанной степени
  • lb — логарифм по основанию 2
  • lg — логарифм по основанию 10
  • ln — натуральный логарифм (по основанию e)
  • logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
  • sin — синус
  • cos — косинус
  • tg — тангенс
  • ctg — котангенс
  • sec — секанс
  • cosec — косеканс
  • arcsin — арксинус
  • arccos — арккосинус
  • arctg — арктангенс
  • arcctg — арккотангенс
  • arcsec — арксеканс
  • arccosec — арккосеканс
  • versin — версинус
  • vercos — коверсинус
  • haversin — гаверсинус
  • exsec — экссеканс
  • excsc — экскосеканс
  • sh — гиперболический синус
  • ch — гиперболический косинус
  • th — гиперболический тангенс
  • cth — гиперболический котангенс
  • sech — гиперболический секанс
  • csch — гиперболический косеканс
  • abs — абсолютное значение (модуль)
  • sgn — сигнум (знак)
  • Предел функции, правило Лопиталя

    Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределов при получении неопределенностей вида » open=» 0 0 и » open=» ∞ ∞ .

    Имеются неопределенности вида » open=» 0 · ∞ и » open=» ∞ — ∞ .

    Самой важной частью правила Лопиталя является дифференцирование функции и нахождение ее производной.

    Правило Лопиталя

    Когда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = » open=» 0 0 или » open=» ∞ ∞ и функции f ( x ) , g ( x ) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ‘ ( x ) g ‘ ( x ) .

    Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров.

    Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) .

    Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = sin 2 ( 3 · 0 ) 0 · cos ( 0 ) = » open=» 0 0 .

    Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что

    lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) ‘ x · cos ( x ) ‘ = lim x → 0 2 sin ( 3 x ) ( sin ( 3 x ) ) ‘ x ‘ · cos ( x ) + x · ( cos ( x ) ) ‘ = = lim x → 0 6 sin ( 3 x ) cos ( 3 x ) cos ( x ) — x · sin ( x ) = 6 sin ( 3 · 0 ) cos ( 3 · 0 ) cos ( 0 ) — 0 · sin ( 0 ) = 0 1 = 0

    Ответ: lim x → 0 sin 2 ( 3 x ) x · cos ( x ) = 0 .

    Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln ( x ) x .

    Производим постановку бесконечностью. Получаем, что

    lim x → ∞ ln ( x ) x = ln ( ∞ ) ∞ = » open=» ∞ ∞

    Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что

    lim x → ∞ ln ( x ) x = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ ln ( x ) ‘ x ‘ = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0

    Ответ: lim x → ∞ ln ( x ) x = 0

    Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) )

    Производим подстановку значения x . получаем, что

    lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = ( 0 + 0 ) 4 · ln ( 0 + 0 ) = » open=» 0 · ( — ∞ )

    Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что

    lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = ln ( 0 + 0 ) ( 0 + 0 ) — 4 = » open=» — ∞ + ∞

    Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что

    lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = » open=» 0 · ( — ∞ ) = lim x → 0 + 0 ln ( x ) x — 4 = » open=» — ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 ( ln ( x ) ) ‘ ( x — 4 ) ‘ = lim x → 0 + 0 1 x — 4 — 5 = — 1 4 lim x → 0 + 0 1 x — 4 = — 1 4 · 1 ( 0 + 0 ) — 4 = = — 1 4 · ( 0 + 0 ) 4 = 0

    Ответ: lim x → 0 + 0 ( x 4 ln ( x ) ) = 0

    Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 .

    После подстановки получаем

    lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞

    Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что

    lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = » open=» ∞ — ∞ = lim x → 0 cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) — 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 ( x ) — sin 2 ( x ) x 2 sin 2 ( x ) = lim x → 0 x cos x — sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 ( x ) = = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = 2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = = 2 0 · cos ( 0 ) — sin ( 0 ) 0 · sin 2 ( 0 ) = » open=» 0 0

    Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что

    2 lim x → 0 x cos x — sin x x sin 2 ( x ) = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 ( x cos x — sin x ) ‘ ( x sin 2 ( x ) ) ‘ = = 2 lim x → 0 cos x — x sin x — cos x sin 2 ( x ) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0

    Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида

    2 lim x → 0 — x sin ( x ) + 2 x cos x = » open=» 0 0 = 2 lim x → 0 — x ‘ sin ( x ) + 2 x cos x ‘ = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x — 2 x sin x = — 2 · 1 3 · cos ( 0 ) — 2 · 0 · sin ( 0 ) = — 2 3

    Ответ: lim x → 0 c t g 2 ( x ) — 1 x 2 = — 2 3

    Вычислить пределы применяя правило лопиталя

    Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :

    Правила Лопиталя

    Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется:

    Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

    Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

    Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности, не случайно в сборниках задач, на контрольных работах, зачётах часто встречается устойчивый штамп: «вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя». Выделенное жирным шрифтом требование можно с чистой совестью приписать и к любому пределу уроков Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы. Методы решения пределов, Замечательные эквивалентности, где встречается неопределённость «ноль на ноль» либо «бесконечность на бесконечность». Даже если задание сформулировано коротко – «вычислить пределы», то негласно подразумевается, что вы будете пользоваться всем, чем угодно, но только не правилами Лопиталя.

    Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

    Аналогичное задание для самостоятельного решения:

    Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!

    Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

    В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:

    Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

    Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками.

    6) Применим последнее правило сведения к второй замечательной границы

    Раскрытие неопределенностей сводится предварительно рассмотренным выше неопределенностей. Если , а при , то применяем преобразование

    бесконечность или ноль на ноль является применение правила Лопиталя: предел отношения двух

    В случае трех последних неопределенностей нужно применять преобразования

    5) Есть неопределенность вида бесконечность на бесконечность .

    бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,

    3) Учитывая неопределенность применяем предыдущее правило

    Вычисление пределов по правилу Лопиталя

    Эффективным способом вычисления пределов функций, имеющих особенности типа бесконечность на

    Решение. 1) Подстановкой устанавливаем что имеем неопределенность вида ноль на ноль . Для избавления от

    Опять получили неопределенность вида и повторно применяем правило Лопиталя

    2) Как и в предыдущем примере мы имеем неопределенность . По правилу Лопиталя находим

    Применение правила Лопиталя показало все возможности при раскрытии неопределенностей.

    Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке

    В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что

    Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная не существует.

    Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что

    Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

    Вывод: показательная функция (y=a n ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=x n ).

    В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

    Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1 Posted in Полезные статьи

    kam-merch.ru

    Это интересно:

    • Найти пределы используя правила лопиталя Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞. Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные […]
    • Дан закон распределения двух независимых случайных величин х и у Математическое ожидание дискретной случайной величины Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график […]
    • Реестр расширения файлов Изменение ассоциаций файлов У многих пользователей персональных компьютеров часто возникают вопросы, связанные с ассоциацией файлов с какой-либо специфической программой. Вопросы такого характера могут […]
    • Согаз правила страхования имущества Страхование имуществаюридических лиц Содержание страницы Посмотрите, какие страховые продукты есть для физических лиц Объекты страхования здания, помещения и сооружения, в том числе залоговые грузы оборудование объекты […]
    • Правила дорожного движения cd 2018 Экзаменационные билеты ПДД категории СД 2018 года Экзаменационные билеты CD ГИБДД 2018 Официальные экзаменационные билеты категории СД 2018 года. Билеты и комментарии составлены на основе ПДДот 18 июля 2018 года (применяются с 10 […]
    • Коллектор на нексию Daewoo Nexia White view › Бортжурнал › Впускной коллектор от Opel! Брат установил вот такую вот штуку впускной коллектор, здесь он идет от Opel. сказал подарок от него, это как на модификациях 1.6, Цена вопроса: $100 Daewoo Nexia […]