Линейная алгебра пособие для студентов

«Изображение говорит больше, чем тысяча слов», — такой принцип взяли на вооружение авторы учебника «Захватывающая линейная алгебра» («Immersive Linear Algebra») с полностью интерактивными иллюстрациями. Авторы говорят, что это первый мире учебник такого рода.

Качественные иллюстрации очень важны для усвоения материала. Слова могут забыться, но картинки запоминаются и всплывут перед глазами в нужный момент. Ну, а если вместо обычных изображений ученику дают интерактивные иллюстрации, с которыми он может поиграть, поэкспериментировать, — это вообще на порядок повышает эффективность обучения. Концепция буквально цементируется в памяти.

Авторы учебника — Якоб Стрём (Jacob Ström), Калле Острём (Kalle Åström) и Томас Акенин-Мёллер (Tomas Akenine-Möller). Они говорят, что интерактивный процесс позволяет быстрее усваивать предмет, практически мгновенно схватывая тему и погружаясь в линейную алгебру.

Вдобавок к интерактиву, учебник снабжён всплывающими подсказками с объяснением математических терминов.

В принципе, такой подход хорошо бы использовать для преподавания и других технических наук. Высокий уровень абстракции в математике, физике и химии буквально требует качественных иллюстраций для понимания предмета. Если в будущем совместить такой подход с технологиями виртуальной реальности, то быстрое обучение в стиле «Матрицы» станет почти достижимым.

На данный момент в онлайне опубликовано четыре из двенадцати разделов «Захватывающей линейной алгебры».

m.habr.com

Методическое пособие по линейной алгебре для студентов

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта «Инфоурок» и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 258 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

Министерство образования Иркутской области

профессиональное образовательное учреждение

«Иркутский авиационный техникум»

по дисциплине «Математика»

Методическое пособие по теме «Линейная алгебра» выполнено для использования его студентами при самостоятельных занятиях по теме «Линейная алгебра» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

от «25» июня 2015 г.

Составитель: преподаватель ИАТ Сыровая И.С.

Методическое пособие по теме «Линейная алгебра» выполнено для использования его студентами при самостоятельных занятиях по теме «Линейная алгебра» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Пособие состоит из 7 разделов.

В этом разделе даны определения матрицы, видов матриц и определителей

2-го и 3-го порядков., рассмотрены примеры их вычисления.

Приведена информация о системах линейных уравнений и их решении.

3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5. Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

6. Задания для самостоятельной работы.

1.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел
,
содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент матрицы аik имеет два индекса: i – номер строки и k – номер столбца.

Матрица называется квадратной порядка n , если она состоит из n строк и n столбцов.
Матрица размера 1хn называется матрицей-строкой , матрица размера m х 1 называется матрицей-столбцом .

Нулевой матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Треугольной матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
.
Единичной называется квадратная матрица n-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы – нули:
.
Матрицы А = ( а ik ) m,n и В = ( в ik ) m,n называются РАВНЫМИ , если а ik = в ik (i = 1,…,m;
k = 1,…,n).

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Произведением матрицы А = ( а ik ) m,n на число l называется матрица lА = (l а ik ) m,n .

Для любых матриц одинакового размера выполняются свойства:
1) А + В = В +А 2) А + (В + С) = (А + В) + С

Транспонированной для матрицы А называется матрица А Т , строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы – строками матрицы А.

Пример 1. Даны матрицы
и
Построить матрицу С = 2А – 3В + А Т .
Решение:
+
+ = .

1.3 УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

размера m х n с элементами

Иными словами, для получения элемента, стоящего в i -ой строке результирующей матрицы и в k -ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов
i
-ой строки матрицы А на k -ый столбец матрицы В.

Пример 2. Найти произведение матрицы А на матрицу В:
.

Решение.

.

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это – условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя.

Определитель второго порядка.

Пусть матрица А – квадратная матрица 2-го порядка:
.
Определителем 2-го порядка (матрицы а) называется число

Пример . Вычислить определитель матрицы

Решение:

Определитель третьего порядка.

Пусть матрица А – квадратная матрица 3-го порядка:

Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется число

Правило треугольника:

Пример . Вычислить определить

Разложение определителя по строке или столбцу.

Минором элемента aik называется определитель Мik, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aik называется число .

Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:

Данную формулу называют разложением определителя по первой строке.

Пример. Вычислить определитель матрицы
.

Решение . Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:

Вычисляем искомый определитель:
D(А) = 3 . 7 + (-2) . (-35) + 4 . (-7) = 63.

1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. D(А Т ) = D (А).

2. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений с переменными x , y и z имеет вид:

Решением системы уравнений называется упорядоченная тройка чисел

x , y , z , являющаяся решением каждого уравнения системы.

Для системы уравнений можно составить матрицу А – матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу D – матрицу-столбец свободных коэффициентов.

a 1 b 1 c 1 d 1

Составим и вычислим определитель матрицы А:

a1 b1 c1

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: Значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменатель которой равен главному определителю системы, а числитель получается из главного определителя путём замены столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Для системы (1) запишем определители ∆, ∆ x , ∆ y , ∆ z .

a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 c1

a1 b1 d1

По формулам Крамера: x = ∆ x / ∆ y = ∆ y / ∆ z = ∆ z / ∆

Пример: x – y + 3 z = 3

Вычислим главный определитель системы:

∆ = 3 1 – 1 = 1 + 2 – 63 –6 –7 + 3 = –70

Заменив столбец коэффициентов при переменной x столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆ x :

х = 17 1 –1 = 3 – 4 – 357 + 12 – 21 + 17 = –350

Заменив столбец коэффициентов при переменной y столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆ y :

y = 3 17 –1 = 17 – 6 – 36 – 102 – 9 – 4 = –140

Заменив столбец коэффициентов при переменной z столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆ z :

z = 3 1 17 = –4 – 34 – 63 – 6 + 119 – 12 = 0

По формулам Крамера вычислим значения x , y и z :

Решение систем методом Гаусса.

При решении систем линейных уравнений используют метод Гаусса, который заключается в приведении заданной системы к треугольному виду (прямой ход). Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

умножение или деление коэффициентов свободных на одно и то же число;

сложение и вычитание уравнений;

перестановку уравнений системы;

исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

x – y + 3 z = 3

Запишем расширенную матрицу:

Чтобы в первом столбце получить a 2= a 3= 0, умножим первую строку соответственно на –3 и –2 и сложим результаты с первой строкой.

Первую и вторую строки запишем без изменения, а затем вторую строку умножим на 5, третью – на 4, полученные значения сложим и запишем результаты в качестве третьей строки:

1 –1 3 3

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:

x – y + 3 z = 3

Выполняя обратный ход, найдём переменные:

4 y – 10 0 = 8; 4 y = 8; y = 2;

x – 2 + 3 0 = 3; x = 3 + 2 = 5.

Итак, получаем ответ: (5; 2; 0).

5 Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

Для системы (1) рассмотрим матрицы

a1 b1 c1 d1 x1

Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в виде:

a1 b1 c1 x1 d1

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.

Умножив обе части матричного уравнения на A -1 , получим: A -1 ( AX ) = A -1 D Так как ( A -1 A ) X = EX = X , ═ X = A -1 D .

Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1). Найти обратную матрицу А -1 .

2). Найти произведение А -1 D .

3). Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Пример. Решить матричное уравнение:

3 -1 0 5

Найдём обратную матрицу A -1 .

Вычислим определитель матрицы A :

3 -1 0

∆ = -2 1 1 = 12 – 2 + 3 – 8 = 5

Вычисляя алгебраические дополнения элементов матрицы, получим:

Запишем новую матрицу:

Запишем обратную матрицу:

0 1/5 1/5

1 4/5 –1/5 5 1 5 + 4/5 0 + (–1/5) 15 2

Х = 2 12/5 –3/5  0 = 2 5 + 12/5 0 + (–3/5) 15 1

0 1/5 1/5 15 0 5 + 1/5 0 + 1/5 15 3

Итак, можно записать:

х1 2

Задания для самостоятельной работы:

x + 2y + z = 8 2. x + 3y – 6z = 12

3x + 2y + z = 10 3x + 2y + 5z = –10

4x + 3y –2z = 4 2x + 5y – 3z = 6

Ответ: ( 1; 2; 3 ) Ответ: (0; 0; –2 )

3. 5 x – y – z = 0 4. 3x – y + 2z = 2

infourok.ru

Библиотека информирует

1.Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для СПО / А.В. Алпатов. — Электрон. текстовые данные. — Саратов: Профобразование, 2017. — 96 c. — 978-5-4488-0150-1. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/65731.html

Учебное пособие предназначено для преподавателей и студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования, обучающихся на базе среднего общего образования по укрупненным группам специальностей «Юриспруденция». В учебном пособии представлены следующие темы: элементы теории множеств, основы применения математических методов в профессиональной деятельности, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной, интегральное исчисление, теория вероятностей, элементы математической статистики. В конце каждой темы приводятся контрольные вопросы для самопроверки и практические задачи для закрепления изученного материала. В издании приведены примеры применения математических методов в юридической практике.

2. Макусева Т.Г. Основные теоремы теории вероятностей [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Т.Г. Макусева, О.В. Шемелова. — Электрон. текстовые данные. — Саратов: Ай Пи Эр Медиа, 2018. — 168 c. — 978-5-4486-0043-2. — Режим доступа: http:// www.iprbookshop.ru/70773.html

В учебно-методическом пособии предлагается большой набор задач, разбитых по темам. Задачи сборника охватывают все разделы теории, включаемые в начальный курс, простейшие вероятностные схемы, последовательности испытаний, случайные события. Кроме большого количества простых задач имеются задачи повышенной сложности, снабженные указаниями и решениями. Пособие предназначено для закрепления теоретических положений курса «Теория вероятностей» на практических занятиях, для самостоятельного решения задач по основным темам, для проверки знаний студентов. Подготовлено на кафедре математики Нижнекамского химико-технологического института. Пособие предназначено для бакалавров и студентов СПО всех направлений, изучающих теория вероятностей в соответствии с учебными планами.

3. Векторная алгебра, аналитическая геометрия и элементы линейной алгебры [Электронный ресурс] : варианты расчетного задания / . — Электрон. текстовые данные. — М. : Московский государственный строительный университет, ЭБС АСВ, 2014. — 63 c. — 2227-8397. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/23720.html

Содержатся 30 вариантов расчетного задания по темам «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия» и «Элементы линейной алгебры» для самостоятельной работы студентов 1 курса очной формы обучения. Каждый вариант состоит из 16 задач, охватывающих основные типы задач по векторной алгебре (задачи с 1 по 8), аналитической геометрии (задачи с 9 по 13) и по элементам линейной алгебры (задачи с 14 по 16). Состав и уровень сложности задач соответствуют учебной программе 1-го курса бакалавриата.

4. Ивлева А.М. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / А.М. Ивлева, П.И. Прилуцкая, И.Д. Черных. — Электрон. текстовые данные. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2014. — 180 c. — 978-5-7782-2409-4. — Режим доступа: http:// www.iprbookshop.ru/45380.html

В пособии подобраны задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии, читаемому на I курсе всех факультетов НГТУ. Теоретический материал пособия и приведенные решения типовых задач способствуют лучшему усвоению материала, самостоятельной работе и приобретению навыков решения задач, необходимых для успешной подготовки к экзамену. Авторы не претендуют на абсолютно корректное изложение теоретического материала, упростив его для улучшения понимания.

5. Лебедева Е.А. Практические занятия по линейной алгебре и аналитической геометрии [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Е.А. Лебедева, О.Е. Рощенко, Т.И. Ерзина. — Электрон. текстовые данные. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2013. — 130 c. — 978-5-7782-2275-5. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/45428.html

Пособие предназначено для студентов очной формы обучения. В нем основные темы курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» разбиты на 16 занятий. Пособие содержит примеры решения типовых задач и необходимый для этого теоретический материал, а также задания для самостоятельного решения. Данное пособие рекомендовано для использования на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов.

6. Чеголин А.П. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Электронный ресурс] : учебное пособие / А.П. Чеголин. — Электрон. текстовые данные. — Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 2015. — 149 c. — 978-5-9275-1728-2. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/68568.html

Настоящее учебное пособие предназначено в первую очередь для студентов первого курса инженерных специальностей физического факультета Южного федерального университета, но также может быть использовано студентами других естественно-научных факультетов. Его цель — помочь студентам овладеть навыками самостоятельной работы при изучении указанного курса. Оно содержит: лекционный материал по соответствующему модулю с примерами решения наиболее характерных задач.

7. Шмырин А.М. Лекции по дискретной математике и математической логике [Электронный ресурс] : учебное пособие / А.М. Шмырин, И.А. Седых. — Электрон. текстовые данные. — Липецк: Липецкий государственный технический университет, ЭБС АСВ, 2014. — 160 c. — 978-5-88247-714-0. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/55636.html

Учебное пособие соответствует государственному образовательному стандарту дисциплин «Дискретная математика», «Математическая логика и теория алгоритмов». Пособие содержит краткий курс дискретной математики и математической логики. В каждом разделе приведены подробно разобранные примеры. Данное пособие предназначено для студентов направлений подготовки 010800.62 – «Механика и математическое моделирование», 220100.62 – «Системный анализ и управление», а также студентов других технических специальностей, изучающих дискретную математику.

8.Математика. Дискретная математика [Электронный ресурс] : учебник / В.Ф. Золотухин [и др.]. — Электрон. текстовые данные. — Ростов-на-Дону: Институт водного транспорта имени Г.Я. Седова – филиал «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф. Ушакова», 2016. — 129 c. — 2227-8397. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/57348.html

Изложен материал по основам математической логики и теории множеств, комбинаторному анализу, теории графов, языкам и грамматикам, конечным автоматам, элементам исчисления предикатов и теории формальных систем, теории алгоритмов и эффективности вычислений. Одна из главных целей учебника – стремление к балансу между сугубо математическим и прикладным содержанием, что способствует общеобразовательному и профессиональному развитию читателя. Предназначен для подготовки студентов ко всем видам занятий по разделу «Дискретная математика» в курсе «Математика». Он может оказаться полезным и для преподавателей

9.Седова Н.А. Дискретная математика [Электронный ресурс] : учебное пособие / Н.А. Седова. — Электрон. текстовые данные. — Саратов: Ай Пи Эр Медиа, 2018. — 67 c. — 978-5-4486-0069-2. — Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/69316.html

Содержит практические материалы для изучения дисциплины «Дискретная математика» по четырем разделам: «Теория множеств», «Отношения и функции», «Основы теории графов», «Переключательные функции». Включает 84 разобранные задачи интернет-экзамена из Единого портала интернет-тестирования в сфере образования. Предназначено для студентов второго курса направления 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».

bkn03.ru

Это интересно:

  • Аварии на морских и речных судах в россии Аварии на морских и речных судах в россии Безопасность человека на воде всегда была актуальной проблемой, но, несмотря на стремление специалистов повысить безопасность судоходства, число морских и речных катастроф не уменьшается. […]
  • Как удалить с реестра оперу Удаляем браузер Опера Ежедневно выходят новые обновления программ. Далеко не все они отличаются стабильной и качественной работой без сбоев и вылетов. В связи с этим пользователи устанавливают одни браузеры и удаляют другие, […]
  • Документы для фактического вступления в наследство Принятие наследства фактически Большинство потенциальных и действительных наследников не настолько разбираются в законодательстве, чтобы быть осведомленным о нескольких способах принятия имущества от наследодателя. Не всегда […]
  • Кнопка возврата на сайте Веб-дизайн и поисковая оптимизация Вебдизайн с jQuery - это очень просто! • Фотогалерея jQuery - просто и красиво! • Фотогалерея jQuery со слайд-шоу • Фотогалерея для интернет магазина • Фотогалерея prettyPhoto • Фотогалерея […]
  • Исковой срок при ликвидации Срок давности при ликвидации фирм Не выплатили компенсацию за отпуск.Прошло 2 года.Компании уже не существует. Что можно сделать? Спасибо. К сожелению, -уже ничего. Срок исковой давности по финансовым делам - 2 года. В бухучете […]
  • Приказ мз 765 Приказ Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 7 декабря 2005 г. N 765 "Об организации деятельности врача-терапевта участкового" Приказ Министерства здравоохранения и социального развития РФот 7 декабря 2005 г. N […]