История науки и техники Com New

Основные законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

В алгебре логики имеются законы, которые записываются в виде соотношений. Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные значения исходной и полученной после преобразования логической функции совпадают при любых значениях входящих в них логических переменных.

Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.

1. Закон противоречия:

2. Закон исключенного третьего:

3. Закон двойного отрицания:

4. Законы де Моргана:

5. Законы повторения: A & A = A; A v A = A; В & В = В; В v В = В.

6. Законы поглощения: A ? (A & B) = A; A & (A ? B) = A.

7. Законы исключения констант: A ? 1 = 1; A ? 0 = A; A & 1 = A; A & 0 = 0; B ? 1 = 1; B ? 0 = B; B & 1 = B; B & 0 = 0.

8. Законы склеивания:

9. Закон контрапозиции: (A ? B) = (B ? A).

Для логических переменных справедливы и общематематические законы. Для простоты записи приведем общематематические законы для трех логических переменных A, В и С:

1. Коммутативный закон: A & B = B & A; A ? B = B ? A.

2. Ассоциативный закон: A & (B & C) = (A & B) & C; A ? (B ? C) = (A ? B) ? C.

3. Дистрибутивный закон: A & (B ? C) = (A & B) ? (A & C).

Как уже отмечалось, с помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций: первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке: инверсия (отрицание), конъюнкция ( & ), дизъюнкция (v), импликация (?), эквиваленция (?)

Выполним преобразование, например, логической функции

применив соответствующие законы алгебры логики.

comnew.ru

Законы алгебры логики


Законы алгебры логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить равносильные преобразования логических выражений.

Ниже приводятся основные законы для логических операций. Используя законы алгебры логики, можно осуществлять тождественные преобразования формул, упрощать такие формулы. Это необходимо при создании логических схем и конструировании BEAM-роботов.

Законы Де Моргана

Правила операций с константами

Законы инверсии (отрицания)

Снятие двойного отрицания

Кроме логических законов важное значение при упрощении выражений может иметь знание следствий из законов и правил логической алгебры.


Последнее следствие может быть представлено и следующим образом:

Знак отрицания над выражением дает возможность опустить скобки, в которые это выражение заключено (отрицание является самой старшей логической операцией).

При упрощении выражений следует помнить старшинство операций: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Сайт находится в разработке, поэтому, пожалуйста, проявите снисходительность к тому, что материалов, пока мало.

В скором времени материалы появятся.

Свободный монтаж в BEAM-робототехнике
Один из наиболее распространенных способов монтажа при создании BEAM-роботов.

beam-robot.ru

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Дистрибутивный закон

Утверждения относительно сложения очевидны, и мы видели ( § 1.4), что умножение подчиняется дистрибутивному закону в том смысле, что если АС и ВС существуют, то АС — — ВС ( А — — В) С. [31]

А ( У V г) а а ( х А У) V ( А), и следовательно, в L выполняется дистрибутивный закон . [32]

Из приведенных соотношений следует, что в алгебре Жегалкина не имеет места принцип дуальности, так как здесь отсутствует тождественное соотношение, выражающее второй дистрибутивный закон . [33]

Следует заметить, что ввиду принятого нами определения порядка действий в булевой алгебре описанный прием приведения к дизъюнктивной нормальной форме сводится к последовательному раскрытию ( в соответствии с первым дистрибутивным законом ) всех скобок в выражении, которое содержит знаки отрицания лишь над символами переменных, с последующим исключением нулей и объединением равных членов. Раскрытие скобок производится точно так же, как и в обычной алгебре. [34]

Рг V OP2 Л з) рассматривается как эквивалентное высказыванию ( Ps V) ( — 1 PI) Л ( Рз V — Рз) что можно обосновать, используя дистрибутивный закон для дизъюнкции относительно конъюнкции. [36]

Рг V ( Рг Л PS) рассматривается как эквивалентное высказыванию ( Р3 V) ( П i) Л ( Рз V РЪ), что можно обосновать, используя дистрибутивный закон для дизъюнкции относительно конъюнкции. [38]

Если, применяя к формуле 91 дистрибутивные преобразования на основании первого дистрибутивного закона, мы получим формулу 53, то переход от двойственной формулы 91 к двойственной формуле S3 осуществляется дистрибутивными преобразованиями на основании второго дистрибутивного закона . [39]

Какой-либо попытки систематизировать эти законы, выбрав среди них более простые, с тем, чтобы, пользуясь ими, выводить другие — в отличие от Шредера, который, как известно, уже заметил даже невыводимость дистрибутивных законов из, как мы сказали бы теперь, аксиоматики алгебраической структуры — у Венна нет. По существу, он ограничивается только приведением примеров, иллюстрирующих эти законы. Мы позволим себе, поэтому не останавливаться подробнее на этих вопросах алгебры логики у Венна. [40]

При выполнении эквивалентных преобразований булевых выражений используются обобщенные дистрибутивные законы. Дистрибутивный закон ( 14) позволяет выполнять преобразование конъюнкции A AZ. Правило преобразований легко выводится из примеров. [41]

Дистрибутивным законом с умножением связана не только сумма операторов, но и их разность. [42]

Следует отметить, что законы АО — А4 совершенно аналогичны законам МО-М4, кроме случая а 0 в требовании М4, когда обратный элемент не существует. Однако в дистрибутивных законах сложение и умножение неравноправны. [43]

Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы: мультипликативную и аддитивную. Обе они связаны дистрибутивными законами . [44]

Не всякая модулярная решетка дистрибутивна. Но она не дистрибутивна: дистрибутивный закон нарушается для трех ее атомов. [45]

www.ngpedia.ru

Законы алгебры логики и следствия из них

При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре логики производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы. Законы алгебры логики – это тавтологии (или теоремы).

1. Закон тождества:

2. Закон непротиворечия:

3. Закон исключения третьего:

4. Закон двойного отрицания:

5. Законы истины и лжи (свойства констант):

6. Законы идемпотентности:

7. Коммутативные законы:

8. Ассоциативные законы:

– дизъюнкции

– конъюнкции

9. Дистрибутивные законы:

– 1‑ый дистрибутивный закон

– 2‑ой дистрибутивный закон

10. Законы поглощения:

11. Законы де Моргана:

12. Закон импликации:

13. Закон эквивалентности:

14. Свойства сложения «по модулю два»:

Справедливость этих законов можно доказать с помощью таблиц истинности сложных логических связей описываемых законов.

Следствия из законов алгебры логики (часто используются при упрощении логических выражений).

1. Правило поглощения. Данное правило является следствием из дистрибутивного закона. Оно может быть записано в следующем виде:

.

2. Правило свертки. Правило является следствием из второго дистрибутивного закона. Запись правила:

а) ;

б) .

3. Правило расширения. Правило записывается в следующем виде:

.

4. Правило склеивания. Базируется на понятии соседних конъюнкций. Соседними называются конъюнкции, отличающиеся представлением одной переменной. Например, конъюнкции и , и являются попарно соседними. В первой паре конъюнкции отличаются представлением х2, а во второй – представлением х1. По этим переменным конъюнкции склеиваются.

Формулировка правила: две соседние конъюнкции склеиваются с образованием одной конъюнкции меньшего ранга; исчезает та переменная, по которой конъюнкция склеивается.

, .

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные законы алгебры логики. Как дозывается их справедливость?

2. Перечислите следствия из законов алгебры логики.

studopedia.org

Основы алгебры логики

Основные законы алгебры логики.

Законы алгебры высказываний

Алгебра высказываний (алгебра логики) — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.

При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.

Законы алгебры высказываний (алгебры логики) — это тавтологии.

Иногда эти законы называются теоремами.

В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул. Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.

Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.

Закон тождества:

Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.

Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.

Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия.

В рассуждении: Движение вечно. Хождение в школу — движение. Следовательно, хождение в школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое — в философском смысле — как атрибут материи, второе — в обыденном смысле — как действие по перемещению в пространстве), что приводит к ложному выводу.

Закон непротиворечия :

В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего:

1. Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.

2. Предприятие работает убыточно или безубыточно.

3. Эта жидкость является или не является кислотой.

Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: « либо — либо », « истина—ложь ». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.

Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.

Парадокс (греч. paradoxos — неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру? В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы. Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний.

Например, определим, чему эквивалентно (равносильно) А (двойное отрицание А , т. е. отрицание отрицания А ).Для этого построим таблицу истинности:

По определению равносильности мы должны найти тот столбец, значения которого совпадают со значениями столбца А. Таким будет столбец А.

Таким образом, мы можем сформулировать закон двойного отрицания:

Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Например, высказывание А = Матроскин — кот эквивалентно высказыванию А = Неверно, что Матроскин не кот .

Аналогичным образом можно вывести и проверить следующие законы:

Свойства констант:

Законы идемпотентности:

Сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор включен . значение высказывания не изменится. Аналогично от повторения на улице тепло, на улице тепло. ни на один градус теплее не станет.

Законы коммутативности:

Операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.

Законы ассоциативности:

A v(B v C) = (A v B) v C;

А & (В & C) = (A & В) & С.

Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.

Законы дистрибутивности:

A v (B & C) = (A v B) &(A v C)

(дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции)

А & (B v C) = (A & B) v (А & C)

(дистрибутивность конъюнкции
относительно дизъюнкции)

Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции ана­логичен дистрибутивному закону в алгебре, а закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции аналога не имеет, он справедлив только в логике. Поэтому необходимо его доказать. Доказательство удобнее всего провести с помощью таблицы истинности:

Законы поглощения:

Проведите доказательство законов поглощения самостоятельно.

Законы де Моргана:

Словесные формулировки законов де Моргана:

Мнемоническое правило: в левой части тождества операция отрицания стоит над всем высказыванием. В правой части она как бы разрывается и отрицание стоит над каждым из простых высказываний, но одновременно меняется операция: дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот.

Примеры выполнения закона де Моргана:

1) Высказывание Неверно, что я знаю арабский или китайский язык тождественно высказыванию Я не знаю арабского языка и не знаю китайского языка.

2) Высказывание Неверно, что я выучил урок и получил по нему двойку тождественно высказыванию Или я не выучил урок, или я не получил по нему двойку.

Замена операций импликации и эквивалентности

Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

Так, заменить операцию импликации можно в соответствии со следующим правилом:

Для замены операции эквивалентности существует два правила:

В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.

Знание правил замены операций импликации и эквивалентности помогает, например, правильно построить отрицание импликации.

Рассмотрим следующий пример.

Пусть дано высказывание:

Е = Неверно, что если я выиграю конкурс, то получу приз .

Пусть А = Я выиграю конкурс ,

В = Я получу приз .

Отсюда, Е = Я выиграю конкурс, но приз не получу .

edusar.soiro.ru

Это интересно:

  • Прокопьевск коллегия адвокатов КОЛЛЕГИЯ АДВОКАТОВ №53 КО НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ "КОЛЛЕГИЯ АДВОКАТОВ РУДНИЧНОГО РАЙОНА Г.ПРОКОПЬЕВСКА КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ" №534223034265 Оценка налоговых рисков при работе с Контрагентом(Должная осмотрительность) Организация не […]
  • Какие суды в дагестане Какие суды в дагестане Верховный суд Республики Дагестан Приемная председателя суда: 67-36-82 Общая канцелярия: 68-10-42 Канцелярия по 1 инстанции ( уголовные и гражданские дела) : 67-47-56 Канцелярия по апелляции (уголовные дела): […]
  • Голосование реестр Оформление реестра надомного голосования В соответствии со статьей 66 Федерального закона от 12.06.2002 № 67−ФЗ «Об основных гарантиях избирательных прав и права на участие в референдуме граждан Российской Федерации» комиссия должна […]
  • Снип правила производства и приемки работ полы СНиП III-В.14-62 Полы. Правила производства и приемки работ Купить СНиП III-В.14-62 — официальный бумажный документ с голограммой и синими печатями. подробнее Официально распространяем нормативную документацию с 1999 года. […]
  • Отдел субсидий в воскресенске МФЦ города Воскресенск Контактная информация Время работы Понедельник 08:00 - 20:00 Вторник 08:00 - 20:00 Среда 08:00 - 20:00 Четверг 08:00 - 20:00 Пятница 08:00 - 20:00 Суббота 08:00 - 20:00 Другая […]
  • Нотариус в домодедово на каширском шоссе Собин Игорь ГеннадьевичНотариус Домодедовского нотариального округа О нотариусе Наша нотариальная контора расположена в городе Домодедово на улице Кирова, дом 7, корпус 1. Нотариус Домодедовского нотариального округа Собин И.Г. […]