Оглавление:

Деление рациональных чисел правила

Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их модули и перед результатом поставить знак плюс, если оба множителя имеют одинаковые знаки, или минус, если множители имеют разные знаки.

Если хоть один множитель равен нулю, то и произведение равно нулю.

0 · (-5) = 0; (+2,5) · 0 = 0.

Чтобы умножить несколько чисел с разными знаками, надо перемножить модули всех чисел и определить знак произведения: если число отрицательных множителей чётное, то произведение будет положительным, если число отрицательных множителей нечетное, то произведение будет отрицательным.

(-5) · (+4) · (-2) · (-3) · (+10) = -1200 (число отрицательных множителей нечетное – три).

(+2,5) · (-7,3) · (+ 4) · (-2) · (-1) · (+4) · (-0,5) = +292 (число отрицательных множителей четное – четыре).

Законы умножения натуральных чисел справедливы для всех рациональных чисел.

Схема определения знака произведения двух рациональных чисел:

Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их модулей.

Частное от деления двух рациональных чисел с противоположными знаками равно частному их модулей, взятому со знаком минус.

(-48) : (+12) = -4; (+16,8) : (-8) = -2,1.

Схема определения знака частного двух рациональных чисел:

files.school-collection.edu.ru

Деление чисел с разными знаками, правило, примеры.

В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками. Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.

Навигация по странице.

Правило деления чисел с разными знаками

В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками. Его можно распространить и на рациональные числа, и на действительные числа, повторив все рассуждения из указанной статьи.

Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.

Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .

Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.

Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.

Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b , нужно число a умножить на число b −1 , обратное числу b . То есть, a:b=a·b −1 .

Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.

Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.

Это же правило используется при делении отрицательных чисел.

Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.

Примеры деления чисел с разными знаками

Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками, чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.

Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7 .

Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35 , а модуль числа 7 равен 7 . Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7 . Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел, получаем 35:7=5 . Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5 .

Вот все решение: .

Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7 . Этим числом является обыкновенная дробь 1/7 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками: . Очевидно, мы пришли к такому же результату.

Вычислите частное 8:(−60) .

По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4 , получаем .

Запишем все решение кратко: .

.

При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.

Разделите отрицательное смешанное число на положительную десятичную дробь 0,(23) .

Модуль делимого равен , а модуль делителя равен 0,(23) . Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.

Осуществим перевод смешанного числа в обыкновенную дробь: , а также переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: .

Осталось разделить обыкновенные дроби в скобках, на этом вычисления будут закончены: .

.

В заключение стоит отметить, что если делимое и (или) делитель является иррациональным числом, записанным как корень, степень, логарифм и т.п., то частное часто записывается в виде числового выражения. Выражение по возможности упрощается, а его значение вычисляется приближенно с требуемой точностью только при необходимости.

Разделите положительное число 5/7 на отрицательное число .

Обратившись к правилу деления чисел с разными знаками, мы можем записать равенство . Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем ответ .

.

Смотрите также материал статьи деление действительных чисел.

www.cleverstudents.ru

Деление отрицательных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.

Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 — значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как

Примеры деления рациональных чисел.

  1. 10 : 5 = 2 , так как 12 · 5 = 10
  2. (−4) : (−2) = 2 , так как 2 · (−2) = −4
  3. (−18) : 3 = −6 , так как (−6) · 3 = −18
  4. 12 : (−4) = −3 , так как (−3) · (−4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками— число отрицательное (примеры 3, 4).

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

  • модуль делимого разделить на модуль делителя;
  • перед результатом поставить знак « + ».

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

  • модуль делимого разделить на модуль делителя;
  • перед результатом поставить знак « − ».

Примеры деления чисел с разными знаками:

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

Делить на ноль НЕЛЬЗЯ !

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

  • а : 1 = a
  • а : (−1) = −a
  • а : a = 1

, где « а » — любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

  • если a · b = с; a = с : b; b = с : a;
  • если a : b = с; a = с · b; b = a : c

Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.

Знак «минус» в дробях

Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:

  • перед дробью;
  • в числителе;
  • в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

math-prosto.ru

Действия с рациональными числами, правила, примеры, решения.

В этой статье мы разберем основные арифметические действия с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление, дадим правила выполнения этих действий и рассмотрим решения примеров.

Навигация по странице.

Сложение рациональных чисел

Так как рациональные числа содержат натуральные числа, то смысл сложения рациональных чисел, должен быть согласован со смыслом сложения натуральных чисел. К примеру, сумма рациональных чисел вида 2+1/3 может означать такое действие: к 2 целым предметам добавили одну третью часть такого предмета, и теперь они рассматриваются совместно.

Теперь можно переходить к правилам сложения рациональных чисел, и к рассмотрению примеров применения этих правил.

Сложение нуля с другим рациональным числом

Сформулируем правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для любого рационального a , а в силу переместительного свойства сложения рациональных чисел также справедливо равенство 0+a=a .

Приведем пару примеров. Сумма рационального числа 0,5 и числа 0 равна 0,5 . Еще пример: .

Сложение противоположных рациональных чисел

Теперь установим, как проводится сложение противоположных рациональных чисел: сумма противоположных чисел равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0 , для любого рационального a .

Например, рациональные числа 4,(35) и −4,(35) – противоположные, значит, их сумма равна нулю, то есть, 4,(35)+(−4,(35))=0 . Другой пример: .

Сложение положительных рациональных чисел

Любое положительное рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби. Таким образом, для сложения положительных рациональных чисел нужно знать, как рациональные числа приводятся к виду обыкновенных дробей, и как выполняется сложение обыкновенных дробей.

Сложите рациональные числа 0,7 и 7/8 .

Выполнив перевод десятичной дроби в обыкновенную, от суммы 0,7+7/8 приходим к сумме 7/10+7/8 . Осталось провести сложение обыкновенных дробей с разными знаменателями: .

.

Если складываемые рациональные числа можно записать как конечные десятичные дроби, либо как смешанные числа, то можно выполнить сложение десятичных дробей и сложение смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для сложения рациональных чисел с разными знаками используется правило сложения чисел с разными знаками: из большего модуля слагаемых надо вычесть меньший, и перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками 7,2 и .

Нам нужно сложить положительное число с отрицательным. По правилу сложения чисел с разными знаками нам сначала нужно найти модули слагаемых: . Сравнение рациональных чисел 7,2 и дает , значит, остается от 7,2 отнять , и перед полученным числом поставить знак плюс. Заменив десятичную дробь 7,2 смешанным числом , приходим к вычитанию смешанных чисел: . Перед полученным числом нет смысла ставить знак плюс, так как запись отвечает числу .

.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Сложение отрицательных рациональных чисел проводится по правилу сложения отрицательных чисел: складываются модули слагаемых и перед полученным числом ставится знак минус.

Приведем пример сложения отрицательных рациональных чисел.

Сложите отрицательное число −4,0203 с отрицательным числом −12,193 .

Модули складываемых чисел равны 4,0203 и 12,193 соответственно. Сложим десятичные дроби столбиком:

Осталось перед полученным числом поставить знак минус, имеем −16,2133 .

Вычитание рациональных чисел

Переходим к рассмотрению следующего действия над рациональными числами – вычитания. Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, вычитание – это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b=a следует, что a−b=с и a−c=b , и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b=a .

Вычитание из большего положительного рационального числа меньшего числа сводится либо к вычитанию обыкновенных дробей, либо, если это удобно, к вычитанию десятичных дробей или вычитанию смешанных чисел.

Вычислите разность рациональных чисел вида .

Для начала будем действовать как при переводе периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь: . Так мы приходим к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа: .

.

В остальных случаях вычитание рациональных чисел заменяется сложением: к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому. То есть, a−b=a+(−b) .

Это равенство доказывается на основании свойств действий с рациональными числами. Они позволяют записать такую цепочку равенств: (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , откуда в силу смысла вычитания следует, что сумма вида a+(−b) является разностью чисел a и b .

Выполните вычитание из рационального числа 2/7 рационального числа .

Число, противоположное вычитаемому, есть . Тогда . Так мы пришли к сложению рациональных чисел с разными знаками, имеем .

.

Умножение рациональных чисел

Понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, а от целых чисел к рациональным. Это объясняет тот факт, что действия с целыми числами обладают всеми свойствами действий с натуральными числами. Следовательно, действия с рациональными числами должны обладать всеми свойствами действий с целыми числами. Однако для умножения рациональных чисел характерно еще одно свойство — свойство умножения взаимно обратных чисел.

С указанным принципом согласуются все перечисленные ниже правила умножения рациональных чисел.

Умножение на нуль

Начнем с правила умножения рационального числа на нуль: произведение любого числа a на нуль есть нуль. Запишем это утверждение в буквенном виде: a·0=0 для любого рационального числа a , а в силу переместительного свойства умножения это равенство можно переписать как 0·a=0 .

Приведем примеры. Умножение рационального числа 5/12 на 0 дает 0 , произведение нуля и отрицательного рационального числа также равно нулю. В частности произведение нуля на нуль есть нуль, то есть, 0·0=0 .

Умножение на единицу

Теперь озвучим правило умножения рационального числа на единицу: умножение любого рационального числа a на 1 в результате дает число a . То есть, a·1=a или 1·a=a , для любого рационального a . Таким образом, единица является нейтральным числом по умножению.

Например, умножение рационального числа 4,73 на 1 в результате дает 4,73 . Другой пример: произведение равно .

Произведение взаимно обратных чисел

Если множители являются взаимно обратными числами, то их произведение равно единице. То есть, a·a −1 =1 .

Так произведение взаимно обратных чисел 7/8 и 8/7 равно единице. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате дает 1 , так как −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3 , а −3/2 и −2/3 – взаимно обратные числа.

Умножение положительных рациональных чисел

В общем случае умножение положительных рациональных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого множители нужно представить в виде обыкновенных дробей, если они сразу не являются таковыми.

Вычислите произведение положительных рациональных чисел 0,4 и 5/28 .

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: 0,4=4/10=2/5 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение обыкновенных дробей: . На этом умножение исходных рациональных чисел завершено.

Вот все решение: .

.

Иногда удобно работать с конечными десятичными дробями, не выполняя переход к обыкновенным дробям.

Вычислите произведение рациональных чисел вида 2,121·3,4 .

Здесь мы можем выполнить умножение десятичных дробей столбиком:

Проведите умножение рациональных чисел 0,(1) и 3 .

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, от умножения исходных рациональных чисел 0,(1) и 3 ми переходим к умножению обыкновенной дроби 1/9 на 3 . В итоге имеем .

.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Для умножения рациональных чисел с разными знаками применяется правило умножения чисел с разными знаками: надо умножить модули множителей и перед полученным числом поставить знак минус. Это правило позволяет от умножения рациональных чисел с разными знаками перейти к умножению положительных рациональных чисел, с которым мы разобрались в предыдущем пункте.

Рассмотрим решение примера.

Выполните умножение отрицательного рационального числа на положительное рациональное число .

По правилу умножения чисел с разными знаками имеем . Заменив смешанные числа соответствующими неправильными дробями, завершаем вычисления .

.

Умножение отрицательных рациональных чисел

Умножение отрицательных рациональных чисел сводится к умножению положительных чисел. При этом применяется следующее правило умножения отрицательных чисел: нужно перемножить модули множителей.

Рассмотрим применение этого правила при решении примера.

Выполните умножение отрицательных рациональных чисел −3,146 и −56 .

Модули множителей равны соответственно 3,146 и 56 . Вычислим их произведение, для этого выполним умножение столбиком:

Таким образом, произведение исходных отрицательных рациональных чисел равно 176,176 .

Деление рациональных чисел

Деление представляет собой действие, обратное умножению. Иными словами, деление – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому множителю. То есть, смысл деления таков: из равенства b·c=a следует, что a:b=c и a:c=b , и, наоборот, из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a .

На множестве рациональных чисел деление сложно считать самостоятельным действием, так как оно выполняется посредством умножения. Об этом свидетельствует следующее правило деления рациональных чисел: разделить число a на отличное от нуля число b – это все равно, что умножить делимое a на число, обратное делителю. То есть, на множестве рациональных чисел a:b=a·b −1 .

Доказать это равенство не составляет труда. Действительно, в силу свойств действий с рациональными числами справедливы равенства (a·b −1 )·b=a·(b −1 ·b)=a·1=a , которые доказывают равенство a:b=a·b −1 .

Итак, деление рационального числа на отличное от нуля рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.

Осталось лишь рассмотреть пример деления рациональных чисел по озвученному правилу.

Выполните деление .

Найдем число, обратное делителю . Запишем это число в виде неправильной дроби: . Тогда число, обратное этой дроби есть .

Теперь мы можем по правилу деления перейти от деления рациональных чисел к умножению, что позволит нам закончить вычисления: .

.

www.cleverstudents.ru

6.3.3. Деление рациональных чисел

Деление отрицательных чисел.

Частное двух отрицательных чисел есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

Так как частное двух положительных чисел — это тоже число положительное, то делаем ВЫВОД:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками есть число положительное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

Пример 1. Выполнить деление (устно):

а) -24:(-10); б) -370: (-1000); в) -253: (-11); г) -18,72: (-6).

Решение. Знак результата «+» (по правилу деления отрицательных чисел). В примерах а) и б) используем правило деления числа на 10, 100, 1000 и т. д. Если забыли — смотрите здесь. В примере в) вспомните, как умножается двузначное число на 11 (цифры двузначного числа раздвигаются и между ними ставится число, равное сумме двух крайних цифр).

а) -24:(-10)=2,4; б) -370: (-1000)=0,37; в) -253: (-11)=23; г) -18,72: (-6)=3,12.

Пример 2. Вычислить:

Решение. По правилу деления отрицательных чисел результат будет положительным числом. Модуль частного в примерах а) и б) вычисляем по правилу деления на десятичную дробь. Повторить это можно здесь. В примерах в) и г) вначале обращаем смешанные числа в неправильные дроби, а затем используем правило деления обыкновенных дробей. Если забыли, как это делается, смотрите здесь!

Деление чисел с разными знаками.

Частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.

ВЫВОД: и при умножении и при делении двух чисел с разными знаками — ответ будет со знаком «-».

Пример 3. Найти частное чисел:

Решение. Применяйте правила, решайте самостоятельно и только потом сверяйтесь с приведенным ниже решением.

Все получилось? Продолжим.

Пример 4. Вычислить:

Решайте и сверяйтесь!

Решение.

Желаю успехов в учебе!

www.mathematics-repetition.com

Это интересно:

  • Приказ мо 024 Приказ мо 024 МИНИСТР ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ от 28 апреля 2005 г. N 164 О ПРАВОВЫХ АКТАХ МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 1. Считать не действующими в Вооруженных Силах Российской Федерации: Приказы Министра обороны […]
  • Гибдд штрафы платон перенесены до 15 мая закон Штраф за неоплату проезда в системе "Платон" с 15 июля может возрасти в 4 раза Проект соответствующего закона 1 размещен Минтрансом России на Федеральном портале проектов нормативных актов для проведения независимой […]
  • Закон приморского края об административных Закон Приморского края от 5 марта 2007 г. N 44-КЗ "Об административных правонарушениях в Приморском крае" (с изменениями от 9 августа 2007 г., 15 февраля, 13 мая, 25 сентября, 3, 22 декабря 2008 г., 6 февраля, 10 марта, 6, 28 июля, 4 […]
  • Приказ по окончании специальной оценки труда Образец приказа о завершении специальной оценки условий труда в организации. Автор: Irena. 05 Июль 2015 в 16:17 ОБРАЗЕЦ Наименование организации ПРИКАЗ №_____ от «____»__________20____г. О завершении проведения специальной оценки […]
  • Приказ об итогах ревизии Контрольная работа №1 Составить приказ Электровакуумному заводу Составить приказ Электровакуумному заводу об установлении единого режима работы складов. В констатирующей части отметьте, что отпуск цехам материалов со складов […]
  • Закон о пенсионное обеспечении военнослужащих Закон РФ от 12 февраля 1993 г. N 4468-I "О пенсионном обеспечении лиц, проходивших военную службу, службу в органах внутренних дел, Государственной противопожарной службе, органах по контролю за оборотом наркотических средств и […]