Математическое ожидание дискретной случайной величины

Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

Свойства математического ожидания случайной величины

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
  2. M[C•X]=C•M[X]
  3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M[X+Y]=M[X]+M[Y]
  4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[X•Y]=M[X]•M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

  1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
  2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
  3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
  4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
  5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
    D(X)=M(X 2 )-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y : M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) — 8*M(Y) + M(7) = 9*8 — 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) — D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) — 8^2D(Y) + 0 = 81*9 — 64*6 = 345

math.semestr.ru

Непрерывные случайные величины. Системы случайных величин. Функция двух случайных аргументов. Формула свертки. Устойчивость нормального распределения , страница 3

Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

1. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина с рядом распределения

.

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Найти математическое ожидание функции .

Возможные значения Y:

; ; .

.

2. Пусть аргумент Х—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой: .

Если возможны значения , то .

Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции .

, , , ; Следовательно,

.

§ 17. Функция двух случайных аргументов.

Формула свертки. Устойчивость нормального распределения.

o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

.

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х—погрешность показаний измерительного прибора (распределена равномерно), то возникает задача—найти закон распределения суммы погрешностей .

Случай 1. Пусть Х и Y—дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y, заданы распределениями

vunivere.ru

3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной величиной Называется величина, которая в результате испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, принимает различные, вообще говоря, значения, зависящие от не учитываемых случайных факторов. Примеры случайных величин: число выпавших очков на игральной кости, число дефектных изделий в партии, отклонение точки падения снаряда от цели, время безотказной работы устройства и т. п. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной Называется случайная величина, возможные значения которой образуют счетное множество, конечное или бесконечное (т. е. такое множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной Называется случайная величина, возможные значения которой непрерывным образом заполняют некоторый конечный или бесконечный интервал числовой оси. Число значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита: X, Y, . ; значения случайной величины – строчными буквами: Х, у, . . Таким образом, X Обозначает всю совокупность возможных значений случайной величины, а Х – Некоторое ее конкретное значение.

Законом распределения дискретной случайной величины называется задаваемое в любой форме соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Пусть возможными значениями случайной величины X Являются . В результате испытания случайная величина примет одно из этих значений, т. е. Произойдет одно событие из полной группы попарно несовместных событий.

Пусть также известны вероятности этих событий:

Закон распределения случайной величины X Может быть записан в виде таблицы, которую называют Рядом распределения Дискретной случайной величины:

matica.org.ua

Дан закон распределения двух независимых случайных величин х и у

qp

qp

Это геометрический закон распределения.

(получаем сходящийся ряд, так как ).

Задача 4. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобрали две детали. Написать закон распределения числа нестандартных деталей среди двух отобранных. Подсчитать математическое ожидание этой случайной величины.

Решение. Случайная величина X – число нестандартных деталей среди двух отобранных имеет следующие возможные значения:Найдем их вероятности

Составим искомый закон распределения случайной величины

Находим математическое ожидание

.

Задача 5. Вероятный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течении шести месяцев – дан в виде закона распределения:

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 36% годовых.

Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3% в месяц составит через 6 месяцев Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

Задача 6. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в некотором автосалоне составляют в среднем 100 тыс. р., а число продаж Х автомашин в течение дня подчиняется следующему закону распределения:

а)Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене на машину 150 тыс. р.. б) Дисперсию ежедневной продажи числа автомашин.

Решение. а)Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле

П = (150Х – 100) тыс. р.

Искомая характеристика М(П) находится с использованием указанных выше свойств математического ожидания (в тыс. р.):

б) Закон распределения случайной величины Х 2 имеет вид:

М(Х 2 ) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

Математическое ожидание М(Х) = 2,675. Следовательно, получаем искомую величину дисперсии:

Задача 7. Случайная величина X задана на всей оси функцией распределения . Найти функцию плотности вероятности и вероятность того, чтоX примет значение, заключенное в интервале (0,1).

Решение. По определению

Полезно сопроводить решение задачи рис.4.

Задача 8. Функции распределения случайной величины имеет вид, изображенный на рис.5.

Найти: a)функцию плотности вероятности; б) глядя на график F(x), указать основные особенности случайной величины, например, интервал возможных значений, наиболее вероятные значения и т.д.; в) M(X), D(X); г) P(X 2 ). Тогда вероятность того, что деталь годная, равна

Изготовление детали рассматриваем как независимый опыт с вероятностью “успеха” p=0,31. Тогда необходимое число деталей определяется из соотношения

Задача 1. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продаётся 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины Х – чистого выигрыша на один билет – равны 0 – 7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200 – 7 =193, 250 – 7 =243, 5000 – 7 = =4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим:

т.е. ряд распределения

Задача 2. Вероятность того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и Б, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Возможные значения случайной величины Х — числа сданных экзаменов – 0, 1, 2.

Пусть Ai – событие, состоящее в том, что студент сдаст i-й экзамен (i=1,2). Тогда вероятность того, что студент сдаст в сессию 0,1,2 экзамена, будут соответственно равны (считаем события А1 и А2 независимыми):

Итак ряд распределения случайной величины

Задача 3. Вычислить М(Х) для случайной величины Х — чистого выигрыша по данным задачи 1.

т.е. средний выигрыш равен нулю. Полученный результат означает, что вся выручка от продажи билетов идёт на выигрыши.

Задача 4. Известны законы распределения случайных величин X и Y – числа очков, выбиваемых 1-м и 2-м стрелками.

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

Рассматривая ряды распределения случайных величин X и Y, ответить на этот вопрос далеко не просто из-за обилия числовых значений, К тому же у первого стрелка достаточно большие вероятности (например, больше 0,1) имеют крайние значения числа выбиваемых очков (X = 0; 1 и X = 9; 10), а у второго стрелка – промежуточные значения (Y = 4; 5; 6).

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.

т.е среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое.

Задача 5. В задаче 4 вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка.

Итак, при равенстве средних значений числа выбиваемых очков (M(X)=M(Y)) его дисперсия, т.е. характеристика рассеяния относительно среднего значения, меньше у второго стрелка (D(X)

Убеждаемся, что

Учитывая, что закон распределения случайной величины X биномиальный имеем

Задача 7. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из этих значений равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если её математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.

Решение. Ряд распределения имеет вид

или

Решая полученную систему, находим два решения:

и

Записываем выражение функции распределения:

или

Задача 8. Дана функция распределения случайной величины X:

а) Найти плотность вероятности f(x); б) построить графики f(x) и F(x); в) убедиться в том, что X – непрерывеая случайная величина; г) найти вероятности P(X=1), P(X

Задача 10. Банк выдал ссуды n разным заёмщикам в размере S р. каждому под ставку ссудного процента r. Найти а) математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата ссуды заёмщиком равна p; б) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение прибыли при n =1000, p =0,8, S = 100 тыс. р. и r = 30%.

Решение. а) Поскольку заёмщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем n независимых испытаний. Вероятность утери ссуды для банка в каждом испытании равна q = = 1 – p. Пусть X – число заёмщиков, возвративших ссуду с ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой

где X является случайной величиной с биномиальным законом распределения.

Поскольку выдача ссуды имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), то из условия М(П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента:

б) Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным: 30 >100(1 – 0,8)/0,8. Математическое ожидание прибыли:

= 100 ∙ 1000(30 ∙ 0,8/100 – 0,2) = 4 млн. р.

Среднее квадратическое отклонение прибыли:

Задача 1. В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник распределения.

Задача 2. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.

Задача 3. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель равна 0,8, а вероятность того, что второй – 0,6. Случайная величина Х – число покупок, сделанных покупателями. Описать закон распределения случайной величины Х.

Задача 4. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

Задача 5. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в интервале (–π/2; π/2) функцией Вне этого интервалаНайти параметрС и определить вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; π/4).

Задача 6. Случайная величина Х задана плотностью вероятности при – ∞

4)M(X) = 2,519, σ(X) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)7)Mx = =1ч., Dx = 1/3 ч 2 ; 8)σx = 48,8 г.

СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предельные теоремы теории вероятностей.

Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

P(|Xa|> ε)≤(1)

P(|Xa|≤ ε)≥ 1-

Теорема Чебышева: Если дисперсии n независимых случайных величин X1, X2 . Xn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайная величина сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий, т.е.

Следствие: Если независимые случайные величины X1,X2. Xn имеют одинаковые математические ожидания, равные a, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то неравенство Чебышева и теорема Чебышева примут вид:

Теорема Бернулли: Относительная частота событий в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании:

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных величин: Если X1,X2 . Xn – независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания M[Xi]=a, дисперсии D[Xi]=a 2 и абсолютные центральные моменты третьего порядка M(|Xiai| 3 )=mi, (), то закон распределения суммы Yn=X1+X2+. +Xn при неограниченно приближается к нормальному. В частности, если все случайные величиныXi одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону при .

Локальная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pm,n того, что событие A произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна

,

.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

,

функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;

, .

Цель занятия: 1. Добиться усвоения условий применения центральной предельной теоремы.

2. Закрепить навыки вычисления вероятностей, связанных с нормальным законом распределения.

3. Научить студентов распознавать проявление закона больших чисел.

К занятию по данной теме должны быть подготовлены ответы на следующие вопросы:

В чем сущность закона больших чисел?

Какое практическое и теоретическое значение имеет неравенство Чебышева?

Какое практическое значение имеет теорема Чебышева?

Объснить, пользуясь теоремой Бернулли, свойство устойчивости относительных частот.

В чем заключается сущность центральной предельной теоремы теории вероятностей?

Задача 1. Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя неравенство Чебышева.

Решение. Дисперсия D(X)=σ 2 ≤200 2 . Так как границы интервала 0≤X≤2000 симметричны относительно математического ожидания М(Х)=1000, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева.

,

т.е. не менее, чем 0,96.

Задача 2. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).

,

т.е. не менее, чем на 0,929.

Задача 3. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более, чем на 5 часов (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 часов.

Находим вероятность искомого события

,

т.е. не менее, чем 0,9902.

Задача 4. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

Необходимо найти n, при котором

.

Применим неравенство Чебышева:

, откуда

и при , т.е. потребуется не менее 500 измерений.

Задача 5. Поезда метро идут с интервалом 2 минуты. Каждый из пассажиров независимо от других приходит на платформу в случайный момент времени. В данный поезд село 75 пассажиров. Какова вероятность того, что их суммарное время ожидания будет заключено в границах от одного до двух с половиной часов?

Решение. Обозначим время ожидания i-го пассажира через Xi. Естественно предполагать что равновозможен приход пассажира в любой момент времени между поездами. Формально это означает, что Xi имеет равномерный закон распределения с функцией плотности вероятности

f(x) =

Тогда и

Суммарное время ожидания Y=∑ Xi представляет собой сумму большего числа независимых одинаково распределённых случайных величин с ограниченными дисперсиями. В силу центральной предельной теоремы можно утверждать, что Y имеет закон распределения близкий к нормальному. Нормальный закон распределения определяется математическим ожиданием и дисперсией. Подсчитаем их.

N(75,25). В задаче требуется вычислить

Задача 6. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,4, в девятку — с вероятностью 0,3, в восьмёрку — с вероятностью 0,2, в семёрку — с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что при 25 выстрелах стрелок из 250 очков выбьет от 220 до 240 очков?

Решение. Пусть при i-м выстреле стрелок набирает Xi очков. Величины Xi независимы и имеют одинаковое распределение

Сумма очков Y= будучи суммой большого числа независимых одинаково распределённых слагаемых с ограниченными дисперсиями, имеет закон распределения близкий к нормальному, параметры которого

N(225,25) и P(220 2 ). Какова вероятность того, что при одном измерении ошибка не превысит 1мк? Для повышения точности измерения проделано 25 измерений, в качестве измеряемой величины взято среднее арифметическое наблюдаемых значений. Какова в этом случае вероятность того, что ошибка не превзойдет 1мк? (Указание: воспользоваться фактом устойчивости нормального закона распределения.) Определить последнюю вероятность, если закон распределения ошибки измерения неизвестен, а известна лишь ее дисперсия равная 4мк 2 .

Решение. Пусть Х – ошибка измерения. Тогда

Если закон распределения ошибки измерения неизвестен, то из неравенства Чебышева:

Р(| 0 | 1, то справедливы обе теоремы Муавра – Лапласа.

а) По локальной теореме Муавра – Лапласа

б) Случайная величина Химеет смысл относительной частоты успехов вn опытах, причем D

Так как в опыте Пирсона было получено отклонение относительной частоты успехов от вероятности успеха в одном опыте, равное то согласно интегральной теореме Муавра – Лапласа

Задача 1. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).

Задача 2. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине).

Задача 3. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.

Задача 4. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

Задача 5. У страховой компании имеется 10000 клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая 0,0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50000 руб. Какова вероятность того, что: а) страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступивших от клиентов?

studfiles.net

Это интересно:

  • Найти пределы используя правила лопиталя Нахождение предела функции в точке по правилу Лопиталя Нахождение предела функции, по правилу Лопиталя, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞. Калькулятор ниже находит предел функции по правилу Лопиталя (через производные […]
  • Найти предел используя правило лопиталя Математический портал Nav view search Navigation Вы здесь: Home Математический анализ Правило Лопиталя Правило Лопиталя. Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида $\frac$ или $\frac$). Пусть функции […]
  • Правила то киа Правила акции "Открываем второй миллион!" >> Шаг 1. Получить промо-код Получить промо-код участника можно на сайте kia.ru или непосредственно в официальных дилерских центрах KIA: Для получения промо-кода на сайте kia.ru необходимо […]
  • Запрос по морским судам Запрос по морским судам Порядок присвоения названий морским судам УТВЕРЖДЕНО приказом Минтранса России от 20 августа 2009 № 141 ПОЛОЖЕНИЕ о порядке присвоения названий морским судам I. Общие положения 1. Положение о порядке […]
  • Сдать экзамен на гражданство в москве Приказом ректора МГУ имени М. В. Ломоносова В. А. Садовничего снижена стоимость экзаменов для граждан из ЛНР и ДНР. Запись на комплексный экзамен / тестирование на гражданство производится не позднее, чем за 1 рабочий день до […]
  • Оформите кредитный договора Русфинанс Банк Условия для заемщиков в предоставлении кредита на автомобиль Кредит предоставляется на приобретение: легкового автомобиля отечественных и зарубежных производителей коммерческого транспорта с разрешенной […]